正如讲义终所述，我们不会太担心你使用什么公理【axioms】或逻辑推导【logical deduction】。

任何合理的事情，我们都可以接受。

我们不会要求你知道什么是肯定前件 (Modus ponens)，或者在你进行逻辑推理时给某个定律【law】贴上标签。

只要你知道是合理的即可。

在这门数学课程中，你所知道的任何事实【fact】，都很接近可以用作公理【axioms】。

想确保你的公理是一致的【consistent】，这没问题。现在的例外情况是，假设我们正在考试，

我们要求你证明一些命题，p。

现在的例外情况是，假设我们正在考试，我们要求你证明一些命题 p。

你不能说，我已经知道 p，这是一个公理，解答完毕。那不太好。我们要求您从一些更基本的事实【facts】中证明这一点。

现在我们上一节中介绍的证明，问题集，都是所谓的直接证明【direct proofs】的例子。

你从一些公理【axiom】开始，你有一些你以前知道的定理【theorems】，然后你进行逻辑推理【logical deduction】，直到你到达你想去的地方，即定理【theorems】。

我们今天将从一个间接证明【indirect proof】开始，例如，反证法。

反证法

在反证法中，你的假设与你要证明的相反。然后你只需要一步步地进行逻辑推理【logical deduction】，直到你得出一个矛盾的结论，即证明 false 等于 true。那就意味着你一开始的假设是错的。也就是说，你要证明的必然是真的。

我们把它写下来，因为一开始可能会有点混乱。

反证法：为了证明命题 P ，我们假定 P 为假（即 ¬ P = true），然后你用这个假设【hypothesis】，来推导出一个谬误【falsehood】或者矛盾【contradiction】。

IF ¬ P => false IS true

而根据真值表，¬ P 必然为 false ，因此 P = true

栗子1

证明 $\sqrt{2}$ 是无理数

假定 $\sqrt{2}$ 是有理数

=> $\sqrt{2}$ = a / b （该分数为最简分数，即a 与 b 哪有公约数）

=> 2 = $a^2/b^2$

=> 2 $b^2$ = $a^2$

=> $a^2$ 为偶数，a 必然为偶数，即 a 可以被 2 整除法，我们记为（2 | a）

=> 4 | $a^2$

=> 2 | $b^2$

=> $b^2$ 为偶数，b 也必然为偶数

=> 矛盾，a 与 b 之间存在公约数

=> $\sqrt{2}$ 是有理数

QED 或者口（表示证明完毕）

false proof

证明 90 比 92 大！！

我将取两个总面积为 90 的三角形放在一起，然后将它们分成四个面积大于 92 的三角形。

通过面积守恒公理，你可能会想到，这将意味着 90 的面积大于 92 的面积。

因此 90 大于 92。

下面就是我的三角形。

它们是直角三角形，9 x 10。

将这两个三角形合并一起，其面试为 9 x 10 = 90

我们沿着对角线进行移动

我将沿着图中虚线截断，你可以看到虚线，是的，不会太精确计算，但它确实比 2 大一点。

我们现在得到如下的图：

我们讲这两个小三角形合并成一个矩形，其面积大于4：

下面的新矩形面积则大于 88

证明 90 > 92！！

因为面积守恒定理吗?

是因为三角形并非等比例画的～～

这也是图片证明或者说PPT证明的问题。

好的，所以对于今天剩下的时间和本周的剩余时间，我们将讨论另一种证明技术，即归纳法【induction】。

归纳法

归纳法是迄今为止计算机科学中最强大和最常用的证明技术。

事实上，如果在我们完成这门课时你会知道一件事，那就是如何进行归纳证明。

归纳公理

P(n) 为一个谓词，

如果P(0) 为真，且 ∀ n ∈ N ,(P(n) => P(n+1) ) 为真，

那么∀ n ∈ N ,P(n) 为真

简而言之，如果P(0)为真，P(1)=>P(2)为真，P(2)=>P(3)为真 ......

则 P(0)，P(1)，P(2)，P(3) ..... 为真。

现在你可以明白为什么公理是合理的：

因为如果P(0)为真，而P(0) => P(1) 为真，那么通过肯定前件或者其他的逻辑推理【logical deductions】，我们知道P(1)也为真。

如果P(1)为真，P(1) => P(2)为真，那么我们可以通过同样的推理，知道P(2) 为真正，以此类推，直到永远。

我们可以将这个过程想象为多米诺骨牌。

例子1

证明 ∀ n >= 0 1 + 2 + 3 + 4 + ...+ n = n(n+1) / 2

首先，我们需要确定谓词是什么，设 p(n) 是一个命题，即 $\sum_{i = 1}^{n} i = n * (n+1) / 2$

然后，我们来检查基本情况【base case】，也有人称其为基本步骤【base step】

即 P(0) 为真 $\sum_{i = 1}^{0} i = 0 * (0+1) / 2$ check~~

最后，就是归纳步骤【inductive step】，对于 n >= 0，我们要证明 P(n) => P(n + 1) 为真

那么我们如何来证明 P(n) => P(n + 1)这个蕴含为真呢？？

因为蕴含只有在 true => false 的情况下为假的，如果P(n) 为假的，我们可以证明蕴含为真，证明结束。我们唯一需要关注的只有P(n) 为真的情况。

因此，我们假定P(n) 为真，并确认 P(n+1) 也为真。

我们假设 P(n) 为真，你也可以写下这是“为了归纳的目的【for purposes of induction】”或“为验证归纳假设的目的【purposes of it verifying the inductive hypothesis】”。只是让我们知道你为什么假设它。换句话说，出于矛盾的目的，您并没有假设 pn 是正确的。你假设它是为了归纳的目的。

这意味着：假定 1 + 2 + 3 + ... + n = n * (n + 1) / 2

我们需要证明 1 + 2 + 3 + ... + （n+1） = （n+1） * (n + 2) / 2

1 + 2 + 3 + ... + （n+1） = $\frac{n * (n+1)}{2} + (n + 1)$ = $\frac{n^2 + n +2n + 2}{2}$ = $\frac{(n + 1) *(n + 2) }{2}$

因此我们证得 ∀ n >= 0 P(n) => P(n+1)

归纳法帮助我们证明定理【theorem】。它是否帮助我们理解了为什么这个定理【theorem】是正确的？看到证明后，你对为什么这个定理是真的有任何感觉吗？

有时归纳会给你一个理解【 understanding】，但有时就没有。

在这里你不明白为什么这个定理是正确的，这有点不幸。

归纳法是否帮助你找出总和【sum】的答案？

也就是说，假设您试图从这个总和（即 $\sum_{i = 1}^{0} i$ ）中得出这个答案（即 $\frac{n * (n + 1))}{2}$ $\frac{n * (n+1)}{2}$ $\frac{n * (n+1)}{2}$ ）。

归纳法给出你答案了吗？

不，你必须先知道答案，即这个 $\frac{n * (n + 1))}{2}$ ，才能证明它是正确的。

现在稍后我们将看到一些例子，在其中，归纳法实际上可以给你答案的，但通常情况下它并不能。

栗子2

证明所有的马都是相同的颜色

我们首先给出归纳的谓词，首先，我们排出“所有的马都是相同的颜色”，因为我们无法在“所有”中插入任何东西，既然要归纳，我们需要一个数字 n ，并在其之上进行归纳。

所以我们的谓词为：在任何大于 1 的马的集合上（n >= 1），所有的马均相同颜色。

基本情况【base case】/基本步骤【base step】： P(1) 为真，因为很自由一匹马

归纳步骤【inductive step】：假定 P(n) 为真，证明 P(n) => P(n + 1) 为真

考虑一个 n+1 的马的集合， h1,h2,h3,h4,h(n+1)，

然后h1,h2,h3,h4...h(n) 是相同颜色的马

h2,h3,h4,...h(n+1) 也是相同颜色的马，他也是一个n集合

因为 Color(h1) = Color(h2,h3,...hn) == Color(h(n+1))

所以 Color(h1) = Color(h(n+1))

所以 P(n + 1) 也为真

QED / 口

这是一个错误证明【false proof】，主要的问题点在于，我们我们无法证明P(1) => P(2)

因为在证明P(1) => P(2)时，Color(h1) = Color(h2,h3,...hn) == Color(h(n+1)) 中的纽带Color(h2,h3,...hn)其实是一个空集，无法为Color(h1) = Color(h(n+1))搭起桥梁～～

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false proof

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