题目 1 1 1：四位数 a b c d ‾ \overline{abcd} abcd 和 d b c a ‾ \overline{dbca} dbca 的最大公约数为 63 63 63（相同字母代表相同数字），求所有 a b c d ‾ \overline{abcd} abcd 与 d b c a ‾ \overline{dbca} dbca

思路

题目就给出了 2 2 2 个四位数字，我们需要将对应的数字转换为数学公式，这样我们才能进行求解。
自然我们想到了数位原理。

解

根据数位原理
a b c d ‾ = 1000 ∗ a + 100 ∗ b + 10 ∗ c + d \overline{abcd}=1000*a+100*b+10*c+d abcd=1000∗a+100∗b+10∗c+d
d b c a ‾ = 1000 ∗ d + 100 ∗ b + 10 ∗ c + a \overline{dbca}=1000*d+100*b+10*c+a dbca=1000∗d+100∗b+10∗c+a
这样，我们得到了只有 2 2 2 个方程的 4 4 4 元 1 1 1 次方程组。
消元是很自然的选择。
( 1000 ∗ a + 100 ∗ b + 10 ∗ c + d ) − ( 1000 ∗ d + 100 ∗ b + 10 ∗ c + a ) = 1000 ∗ a − 1000 ∗ d + d − a = 1000 ∗ ( a − d ) + ( d − a ) = 999 ∗ ( a − d ) (1000*a+100*b+10*c+d)-(1000*d+100*b+10*c+a)\\ =1000*a-1000*d+d-a\\ =1000*(a-d)+(d-a)\\ =999*(a-d) (1000∗a+100∗b+10∗c+d)−(1000∗d+100∗b+10∗c+a)=1000∗a−1000∗d+d−a=1000∗(a−d)+(d−a)=999∗(a−d)
这样，我们将方程花间为一个 2 2 2 元 1 1 1 次不定方程。下面我们进行分类讨论既可以。
不失通用性，我们可以假设 a b c d ‾ > d b c a ‾ \overline{abcd}>\overline{dbca} abcd>dbca。
根据题目条件，可得 63 ∣ ( a b c d ‾ − d b c a ‾ ) 63|(\overline{abcd}-\overline{dbca}) 63∣(abcd−dbca)。
所以 63 ∣ ( 999 ∗ ( a − d ) ) 63|(999*(a-d)) 63∣(999∗(a−d))。
所以 7 ∣ ( 111 ∗ ( a − d ) ) 7|(111*(a-d)) 7∣(111∗(a−d))。
因为 ( 7 , 111 ) = 1 (7,111)=1 (7,111)=1，所以 7 ∣ ( a − d ) 7|(a-d) 7∣(a−d)。
也就是说 ( a − d ) (a-d) (a−d) 是 7 7 7 的倍数。
由于 a a a 是最高位，因此 1 < a ≤ 9 1<a \leq 9 1<a≤9。
所以可得 a = 8 , d = 1 a=8, d=1 a=8,d=1 或者 a = 9 , d = 2 a=9, d=2 a=9,d=2。
下面，我们进行分类讨论即可。

1. 当 a = 8 , d = 1 a=8, d=1 a=8,d=1 时。
   a b c d ‾ = 8 b c 1 ‾ = 8001 + b c 0 ‾ \overline{abcd}=\overline{8bc1}=8001+\overline{bc0} abcd=8bc1=8001+bc0。
   因为 8001 = 63 × 127 8001=63 \times 127 8001=63×127，即 8001 8001 8001 是 63 63 63 的倍数。
   所以 b c 0 ‾ \overline{bc0} bc0 也是 63 63 63 的倍数。
   可以得出 b c 0 ‾ = 000 \overline{bc0}=000 bc0=000 或者 b c 0 ‾ = 630 \overline{bc0}=630 bc0=630。
   1.1 当 a b c d ‾ = 8001 = 63 × 127 , d b c a ‾ = 1008 = 63 × 16 \overline{abcd}=8001=63 \times 127,\ \overline{dbca}=1008=63 \times 16 abcd=8001=63×127, dbca=1008=63×16，满足 ( 127 , 16 ) = 1 (127,16)=1 (127,16)=1。
   即 a b c d ‾ = 8001 , d b c a ‾ = 1008 \overline{abcd}=8001,\ \overline{dbca}=1008 abcd=8001, dbca=1008 是一组解。
   1.2 当 a b c d ‾ = 8631 = 63 × 137 , d b c a ‾ = 1638 = 63 × 26 \overline{abcd}=8631=63 \times 137,\ \overline{dbca}=1638=63 \times 26 abcd=8631=63×137, dbca=1638=63×26，满足 ( 137 , 26 ) = 1 (137,26)=1 (137,26)=1。
   即 a b c d ‾ = 8631 , d b c a ‾ = 1638 \overline{abcd}=8631,\ \overline{dbca}=1638 abcd=8631, dbca=1638 是一组解。
2. 当 a = 9 , d = 2 a=9, d=2 a=9,d=2 时。
   a b c d ‾ = 9 b c 2 ‾ = 9002 + b c 0 ‾ \overline{abcd}=\overline{9bc2}=9002+\overline{bc0} abcd=9bc2=9002+bc0。
   因为 9002 m o d 63 = 56 9002 \bmod 63 = 56 9002mod63=56。所以 b c 0 ‾ m o d 63 = 7 \overline{bc0} \bmod 63 = 7 bc0mod63=7。
   可以得出 b c 0 ‾ = 070 \overline{bc0}=070 bc0=070 或者 b c 0 ‾ = 700 \overline{bc0}=700 bc0=700。
   1.1 当 a b c d ‾ = 9072 = 63 × 144 , d b c a ‾ = 2079 = 63 × 33 \overline{abcd}=9072=63 \times 144,\ \overline{dbca}=2079=63 \times 33 abcd=9072=63×144, dbca=2079=63×33，而 ( 144 , 33 ) = 3 (144,33)=3 (144,33)=3。
   该组答案舍去。
   即 a b c d ‾ = 9072 , d b c a ‾ = 2079 \overline{abcd}=9072,\ \overline{dbca}=2079 abcd=9072, dbca=2079 不是一组解。
   1.2 当 a b c d ‾ = 9702 = 63 × 154 , d b c a ‾ = 2709 = 63 × 43 \overline{abcd}=9702=63 \times 154,\ \overline{dbca}=2709=63 \times 43 abcd=9702=63×154, dbca=2709=63×43，满足 ( 154 , 43 ) = 1 (154,43)=1 (154,43)=1。
   即 a b c d ‾ = 9072 , d b c a ‾ = 2709 \overline{abcd}=9072,\ \overline{dbca}=2709 abcd=9072, dbca=2709 是一组解。
   综上所述，答案有 3 3 3 组。

问题 2 2 2：若 a + b = 60 , ( a , b ) + [ a , b ] = 84 , a , b ∈ N + a+b=60,\ (a,b)+[a,b]=84,\ a,b \in N+ a+b=60, (a,b)+[a,b]=84, a,b∈N+，求 a , b a,b a,b

思路

题目给出了 2 2 2 个方程，但是 ( a , b ) + [ a , b ] = 84 (a,b)+[a,b]=84 (a,b)+[a,b]=84 这个方程我们无法立即求解，需要进行响应转化。
我们可以利用短除模型。即 a , b a,b a,b 的公约数为 m m m，可得 a = m A , b = m B , ( A , B ) = 1 a=mA, b=mB, (A,B)=1 a=mA,b=mB,(A,B)=1。

解

不失通用性，假设 a > b a>b a>b。
利用短除模型。记 m = ( a , b ) m=(a,b) m=(a,b)。
( a , b ) = m , [ a , b ] = m A B (a,b)=m,\ [a,b]=mAB (a,b)=m, [a,b]=mAB。
这样方程变为
m A + m B = 60 → m ( A + B ) = 60 → A + B = 60 m mA+mB=60 \rightarrow m(A+B)=60 \rightarrow A+B=\frac{60}{m} mA+mB=60→m(A+B)=60→A+B=m60​
m + m A B = 84 → m ( 1 + A B ) = 84 → 1 + A B = 84 m m+mAB=84 \rightarrow m(1+AB)=84 \rightarrow 1+AB=\frac{84}{m} m+mAB=84→m(1+AB)=84→1+AB=m84​
因为 A , B ∈ N + A,B \in N+ A,B∈N+
所以 ( A + B ) , ( 1 + A B ) ∈ N + (A+B),(1+AB) \in N+ (A+B),(1+AB)∈N+，即 m ∣ 60 , m ∣ 84 m|60, m|84 m∣60,m∣84。
60 = 1 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 5 , 84 = 1 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 7 60=1*2*2*3*5,\ 84=1*2*2*3*7 60=1∗2∗2∗3∗5, 84=1∗2∗2∗3∗7
因此 m = 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 m=1,2,3,4,6,12 m=1,2,3,4,6,12。
经验证 m = 1 , 2 , 3 , 4 , 6 m=1,2,3,4,6 m=1,2,3,4,6 方程无解。
当 m = 12 m=12 m=12
A + B = 5 , 1 + A B = 7 A+B=5,\ 1+AB=7 A+B=5, 1+AB=7，即 A = 3 , 2 , B = 2 , 3 A=3,2,\ B=2,3 A=3,2, B=2,3。
即 a = 36 , b = 24 a=36,\ b=24 a=36, b=24。

问题 3 3 3：若 a + b = 667 , [ a , b ] ( a , b ) = 120 , a , b ∈ N + a+b=667,\ \frac{[a,b]}{(a,b)}=120,\ a,b \in N+ a+b=667, (a,b)[a,b]​=120, a,b∈N+，求 a , b a,b a,b

思路

类似于问题 2 2 2，使用短除模型即可解决。

解

其实就是问题 2 2 2 的变化。
大家可以自己求解。

问题 4 4 4：求 a , b ∈ N + a,b\in N+ a,b∈N+，使得 ( a , b ) + 9 [ a , b ] + 9 ( a + b ) = 7 a b (a,b)+9[a,b]+9(a+b)=7ab (a,b)+9[a,b]+9(a+b)=7ab

思路

类似问题 2 2 2，使用短除模型。
由于本题将转化为一个 4 4 4 元 4 4 4 次方程，这样的方程是没有办法进行分类讨论的，工作量太大了。
所以我们需要进行缩放。

解

不失通用性，假设 a > b a>b a>b。
利用短除模型。记 m = ( a , b ) m=(a,b) m=(a,b)。
则 a = m A , b = m B , ( A , B ) = 1 a=mA,\ b=mB, (A,B)=1 a=mA, b=mB,(A,B)=1。代回原方程。
m + 9 m A B + 9 ( m A + m B ) = 7 ∗ m A ∗ m B m+9mAB+9(mA+mB)=7*mA*mB m+9mAB+9(mA+mB)=7∗mA∗mB
1 + 9 A B + 9 ( A + B ) = 7 m A B 1+9AB+9(A+B)=7mAB 1+9AB+9(A+B)=7mAB
1 + 9 A B + 9 ( A + B ) A B = 7 m \frac{1+9AB+9(A+B)}{AB}=7m AB1+9AB+9(A+B)​=7m
1 A B + 9 + 9 B + 9 A = 7 m \frac{1}{AB}+9+\frac{9}{B}+\frac{9}{A}=7m AB1​+9+B9​+A9​=7m
即 7 m = 9 + 1 A B + 9 B + 9 A 7m=9+\frac{1}{AB}+\frac{9}{B}+\frac{9}{A} 7m=9+AB1​+B9​+A9​
这样，我们就可以对该方程进行放缩。
根据题目定义 a , b ∈ N + → A , B ∈ N + a,b\in N+ \rightarrow A,B\in N+ a,b∈N+→A,B∈N+
9 < 7 m ≤ 9 + 1 + 9 + 9 9<7m \leq 9+1+9+9 9<7m≤9+1+9+9
即 9 < 7 m ≤ 28 → 9 7 < m ≤ 28 7 9<7m \leq 28 \rightarrow \frac{9}{7} < m \leq \frac{28}{7} 9<7m≤28→79​<m≤728​
即 m = 2 , 3 , 4 m=2,3,4 m=2,3,4。下面我们进行分类讨论即可。

1. 当 m = 2 m=2 m=2
   方程变为 5 A B − 9 ( A + B ) − 1 = 0 5AB-9(A+B)-1=0 5AB−9(A+B)−1=0。可以分类讨论，也可以使用因式分解。 ( 5 A − 9 ) ( 5 B − 9 ) = 86 (5A-9)(5B-9)=86 (5A−9)(5B−9)=86。
   86 = 1 ∗ 86 = 2 ∗ 43 86=1*86=2*43 86=1∗86=2∗43
   解得 A = 19 , B = 2 A=19, B=2 A=19,B=2，即 a = m A = 38 , b = m B = 4 a=mA=38, b=mB=4 a=mA=38,b=mB=4。
2. 当 m = 3 m=3 m=3
   无解。
3. 当 m = 4 m=4 m=4
   解得 A = 1 , B = 1 A=1,B=1 A=1,B=1，即 a = m A = 4 , b = m B = 4 a=mA=4, b=mB=4 a=mA=4,b=mB=4。
   综上。对应得解为 ( 4 , 4 ) , ( 4 , 38 ) , ( 38 , 4 ) (4,4),(4,38),(38,4) (4,4),(4,38),(38,4)。

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