Leetcode494. 目标和

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题目：
给你一个整数数组 numsnumsnums 和一个整数 targettargettarget 。
向数组中的每个整数前添加 ‘+’ 或 ‘-’ ，然后串联起所有整数，可以构造一个表达式：
例如，nums=[2,1]nums = [2, 1]nums=[2,1] ，可以在 2 之前添加 ‘+’ ，在 1 之前添加 ‘-’ ，然后串联起来得到表达式 “+2-1” 。
返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 targettargettarget 的不同表达式的数目。

示例 1：

输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

示例 2：

输入：nums = [1], target = 1
输出：1

题解：
0-1背包问题
记数组的元素和为 sum\textit{sum}sum，添加 -\texttt{-}- 号的元素之和为 neg\textit{neg}neg，则其余添加 +\texttt{+}+ 的元素之和为 sum−neg\textit{sum}-\textit{neg}sum−neg，得到的表达式的结果为
(sum−neg)−neg=sum−2⋅neg=target(sum−neg)−neg=sum−2⋅neg=target(\textit{sum}-\textit{neg})-\textit{neg}=\textit{sum}-2\cdot\textit{neg}=\textit{target} (sum−neg)−neg=sum−2⋅neg=target(sum−neg)−neg=sum−2⋅neg=target(sum−neg)−neg=sum−2⋅neg=target
即
neg=sum−target2\textit{neg}=\dfrac{\textit{sum}-\textit{target}}{2}neg=2sum−target

由于数组 nums\textit{nums}nums 中的元素都是非负整数，neg\textit{neg}neg 也必须是非负整数，所以上式成立的前提是 sum−target\textit{sum}-\textit{target}sum−target是非负偶数。若不符合该条件可直接返回 0。

若上式成立，问题转化成在数组 nums\textit{nums}nums 中选取若干元素，使得这些元素之和等于 neg\textit{neg}neg，计算选取元素的方案数。我们可以使用动态规划的方法求解。

定义二维数组 dp\textit{dp}dp，其中dp[i][j]\textit{dp}[i][j]dp[i][j] 表示从数组的 [0,i][ 0 , i ][0,i]下标范围内选取若干个正整数，使得这些元素之和等于 jjj 的方案数。假设数组 nums\textit{nums}nums 的长度为 n，则最终答案为dp[n−1][neg]\textit{dp}[n-1][\textit{neg}]dp[n−1][neg]。

在定义状态之后，需要考虑边界情况。以下两种情况都属于边界情况。

如果不选取任何正整数，则被选取的正整数等于 0。因此对于所有 0≤i<n0≤i < n0≤i<n，都有dp[i][0]=1dp [ i ] [ 0 ] = 1dp[i][0]=1；
当 i=0i = 0i=0 时，只有一个正整数 nums[0]\textit{nums}[0]nums[0]可以被选取，因此dp[0][nums[0]]=1dp [ 0 ] [ nums [ 0 ]] = 1dp[0][nums[0]]=1；
当没有任何元素可以选取时，dp[0][j]=0(j>0)dp[0][j]=0(j>0)dp[0][j]=0(j>0)。

当 1≤i<n1 \le i < n1≤i<n时，对于数组 nums\textit{nums}nums中的第 iii 个元素 num\textit{num}num（i 的计数从 1 开始），遍历 0≤j≤neg0 \le j \le \textit{neg}0≤j≤neg，计算 dp[i][j]\textit{dp}[i][j]dp[i][j] 的值：

如果 j<numj < \textit{num}j<num，则不能选 num\textit{num}num，此时有 dp[i][j]=dp[i−1][j]\textit{dp}[i][j] = \textit{dp}[i - 1][j]dp[i][j]=dp[i−1][j]；

如果 j≥numj \ge \textit{num}j≥num，则如果不选 num\textit{num}num，方案数是 dp[i−1][j]\textit{dp}[i - 1][j]dp[i−1][j]，如果选 num\textit{num}num，方案数是 dp[i−1][j−num]\textit{dp}[i - 1][j - \textit{num}]dp[i−1][j−num]，此时有 dp[i][j]=dp[i−1][j]+dp[i−1][j−num]\textit{dp}[i][j] = \textit{dp}[i - 1][j] + \textit{dp}[i - 1][j - \textit{num}]dp[i][j]=dp[i−1][j]+dp[i−1][j−num]。

因此状态转移方程如下：

dp[i][j]={dp[i−1][j],j<nums[i]dp[i−1][j]+dp[i−1][j−nums[i]],j≥nums[i]\textit{dp}[i][j]=\begin{cases} \textit{dp}[i - 1][j], & j<\textit{nums}[i] \\ \textit{dp}[i - 1][j] + \textit{dp}[i - 1][j - \textit{nums}[i]], & j \ge \textit{nums}[i] \end{cases}dp[i][j]={dp[i−1][j],dp[i−1][j]+dp[i−1][j−nums[i]],j<nums[i]j≥nums[i]

最终得到 dp[n−1][neg]\textit{dp}[n-1][\textit{neg}]dp[n−1][neg] 的值即为答案。

java代码：

  /*** @param nums* @param target* @return*/public static int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {int len = nums.length;int sum = 0;for (int i = 0; i < len; i++) {sum += nums[i];}if ((sum - target) % 2 != 0) {return 0;}int neg = (sum - target) / 2;//dp[i][j] ：在数组[0,i]中选取一些数，使得和为jint[][] dp = new int[len][neg + 1];//i=0时，只有一个正数nums[0]可以被选取dp[0][nums[0]] = 1;for (int i = 0; i < len; i++) {//从[0,i]中不选任何正整数dp[i][0] = 1;}for (int i = 1; i < len; i++) {for (int j = 1; j <= neg; j++) {if (j < nums[i]) {dp[i][j] = dp[i - 1][j];} else {dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];}}}return dp[len - 1][neg];}

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