1、先导

理解行列式因子之前，我们先要了解它定义中的k阶子式是怎么求出来的。而行列式因子的引入是为了证明smith标准型的唯一性。

k阶子式

在行列式中任取k行k列的，k是任意取得，没有限制，（k行k列也就是说明行、列数相同就可以了，像我可以取第1、2行，列数可以取1、2列；列数也可以取2、3列，这两个也都是2阶子式）这些行列相交的公共元素，重新组合的新的行列式。以例子来说明加深理解。
A=∣123456789∣A=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} A=∣∣∣∣∣∣147258369∣∣∣∣∣∣

（1）1阶子式

1阶子式有：∣1∣、∣2∣、∣3∣、...∣9∣取完行列式中的全部元素。1阶子式有：\begin{vmatrix} 1 \\ \end{vmatrix} 、 \begin{vmatrix} 2 \\ \end{vmatrix} 、 \begin{vmatrix} 3 \\ \end{vmatrix} 、... \begin{vmatrix} 9 \end{vmatrix} 取完行列式中的全部元素。 1阶子式有：∣∣1∣∣、∣∣2∣∣、∣∣3∣∣、...∣∣9∣∣取完行列式中的全部元素。

（2）2阶子式

2阶子式有：∣1234∣（第1、2行，第1、2列）、∣2356∣（第1、2行，第2、3列）、...、∣5689∣（第2、3行，第2、3列）...2阶子式有：\begin{vmatrix} 1&2 \\ 3&4\\ \end{vmatrix} （第1、2行，第1、2列）、 \begin{vmatrix} 2&3 \\ 5&6 \end{vmatrix} （第1、2行，第2、3列）、 ...、 \begin{vmatrix} 5&6 \\ 8&9 \end{vmatrix} （第2、3行，第2、3列）... 2阶子式有：∣∣∣∣1324∣∣∣∣（第1、2行，第1、2列）、∣∣∣∣2536∣∣∣∣（第1、2行，第2、3列）、...、∣∣∣∣5869∣∣∣∣（第2、3行，第2、3列）...
一直到取完全部的2阶行列式，全部的这些二阶行列式都是2阶子式。

（3）3阶子式

3阶子式就是该行列式。
依此类推到k阶子式。

主子式

在行列式中取k行k列，行（或列）的标号虽然可以任取（不需要按照间隔为1来取），但是列（或行）的标号要与行（或列）一致，即行列标号一样，例如行取1、3、6，列就得取1、3、6；行取2、3、5，列就得取2、3、5.

顺序主子式

也是在行列式中取k行k列，但是要从第1行第1列开始选，也就是说一阶顺序主子式只是第1行第1列构成的行列式；二阶顺序主子式只有第1、2行和第1、2列构成的行列式；三阶顺序主子式只有第1、2、3行和第1、2、3列构成的行列式，依此类推。
说明顺序主子式唯一。

2、不变因子

不变因子是将矩阵化成smith标准型后的对角线上的全部非0元素。smith标准型的化简是采用行和列变化，使其后一个对角线元素能整除前一个对角线元素。举个例子（下面的A、B矩阵都是数字矩阵的的λ-矩阵化成的，即λE-A、λE-B，这两个的λ-矩阵的λ的次数是和阶数一样的，都是3次）。
A(λ)=(1000λ−1000(λ−1)(λ−2)),B(λ)=(1000λ−1000(λ−2)2)A(λ)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ-1 &0 \\ 0 & 0 & (λ-1 )(λ-2 )\\ \end{pmatrix} ,B(λ)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ-1 &0 \\ 0 & 0 & (λ-2 )^2 \\ \end{pmatrix} A(λ)=⎝⎛1000λ−1000(λ−1)(λ−2)⎠⎞,B(λ)=⎝⎛1000λ−1000(λ−2)2⎠⎞其中A(λ)是Smith标准型，因为(λ-1)(λ-2)能整除(λ-1)，当然(λ-1)可以整除1；而B(λ)不是Smith标准型，因为 (λ-2)²不能整除 (λ-1)。当然不一定一开始的对角线元素就是1，也可以是λ的多项式（我举得这个C(λ)例子不是数字矩阵的λ-矩阵，因此λ的阶数不等于他的维数）。
C(λ)=(λ−1000λ−1000(λ−1)(λ−2))C(λ)=\begin{pmatrix} λ-1 & 0 & 0 \\ 0 & λ-1 &0 \\ 0 & 0 & (λ-1 )(λ-2 )\\ \end{pmatrix} C(λ)=⎝⎛λ−1000λ−1000(λ−1)(λ−2)⎠⎞C(λ)这种也是smith标准型

3、行列式因子

定义：λ-矩阵A(λ)的全部的非零k阶子式的首项系数为1的最大公因式D_k (λ)称为k阶行列式因子。
不变因子和行列式因子的关系：不变因子d_i ，行列式因子D_i 。d₁ =D₁ ，d₂ =D₂ /D₁ …,d_r =D_r /D_r-1 。
要是给出的矩阵是对角形式的，用行列式因子能很快的求解出不变因子，从而求出Smith标准型。举个例子：A(λ)=(λ(λ+1)000λ000(λ+1)2)A(λ)=\begin{pmatrix} λ(λ+1) & 0 & 0 \\ 0 & λ &0 \\ 0 & 0 & (λ+1)^2\\ \end{pmatrix} A(λ)=⎝⎛λ(λ+1)000λ000(λ+1)2⎠⎞
可见。非零1阶子式有λ(λ+1)、λ 、(λ+1)² ,则最大公因式D₁ =1；非零2阶子式有λ²(λ+1)、λ(λ+1)³ ，λ(λ+1)² ，则最大公因式D₂ =λ(λ+1)；非零3阶子式有λ²(λ+1)³ ,则最大公因式D₃ =λ²(λ+1)³ 。
因此我们可以求解第一个不变因子d₁ =D₁ =1；d₂ =D₂ /D₁ =λ(λ+1)；d₃ =D₃ /D₂ =λ(λ+1)² 。故可化成Smith标准型为
(1000λ(λ+1)000λ(λ+1)2)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ(λ+1) &0 \\ 0 & 0 & λ(λ+1)^2\\ \end{pmatrix} ⎝⎛1000λ(λ+1)000λ(λ+1)2⎠⎞

4、初等因子

把不变因子中的常数项去掉，剩下的关于λ的因式进行分解，注意分解的因式是互不相同的(仅是针对同一个不变因子的)。例如：不变因子为1，λ，λ(λ-1)，
则初等因子为λ，λ，λ-1；若是不变因子为1，1，(λ-1)³ ,则初等因子为(λ-1)³ 。

5、参考

矩阵分析（第三版）史荣昌
k阶子式、主子式、顺序主子式的一些定义的参考
使用LaTeX写矩阵

理解不变因子、行列式因子、初等因子相关推荐

「管理数学基础」1.5 矩阵理论：方阵的行列式因子、不变因子、初等因子
文章目录方阵的行列式因子.不变因子.初等因子行列式因子直接的定义例题1 解答1 分析1 不变因子初等因子初等因子计算方法例题2 三种因子小结例题3 例题4 例题5 小结方阵的行列式因 ...
行列式因子、不变因子、初等因子、smith标准型、Jordan标准型、最小多项式的matlab实现
版权声明:<–本博客所有内容均为自己在学习工作中的总结.摘录等-- --转载请注明出处-- --如有侵权请联系删除–> https://blog.csdn.net/ai359005521/ ...
【矩阵论笔记】矩阵特征矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子
矩阵的特征值矩阵是由矩阵特征值 λ \lambda λ构成的矩阵.包含三个运算: 1.互换两行(列) 2.某行(列)乘非零常数 3.某行(列)乘多项式后加到另一行 n阶 λ \lambda λ矩阵可逆 ...
【高等工程数学】南理工研究生课程突击笔记3 不变因子与Jordan标准型
高等工程数学突击笔记3 文章目录高等工程数学突击笔记3 一.标准型 λ矩阵行列式因子D 不变因子d 初等因子 Jordan标准型二.盖尔圆特征值隔离总结第二章内容大致分成三个部分标准 ...
矩阵分析第二章 lambda矩阵和Jordan标准型
这一章的知识太杂了,有必要整理一下什么是矩阵矩阵元素是的多项式就是矩阵矩阵的秩行列式可以是的多项式但是能是零,就可以求矩阵的逆首先,求它的行列式,只有行列式为常数且非0:这个矩阵才有逆. ...
矩阵理论的发展史简介
根据世界数学发展史记载,矩阵概念产生于19世纪50年代,是为了解线性方程组的需要而产生的. 然而,在公元前我国就已经有了矩阵的萌芽.在我国的<九章算术>一书中已经有所描述,只是没有将它 ...
很有见解的博客众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处
1.特征值和特征向量的几何意义.计算及其性质 https://www.cnblogs.com/chaosimple/p/3179695.html 2.若尔当(Jordan)标准形介绍 https:// ...
高等代数---λ矩阵
高等代数-λ矩阵声明: 本篇文章内容主要对<高等代数>第三版第八章内容的总结,复习 λ矩阵定义:数字矩阵,λ矩阵定义1:如果λ-矩阵A(λ)中有一个r(r≥1)级子式不为零,而所有r ...
矩阵笔记2:矩阵分析(第三版)-史荣昌-第二章:λ-矩阵与矩阵的Jordan标准型
文章目录 0 笔记说明 1 书本内容 1.1 λ-矩阵及标准型 1.2 初等因子与相似条件 1.3 矩阵的Jordan标准型 1.4 矩阵的有理标准型 2 听课笔记 2.1 λ-矩阵及标准型 2.2 ...

理解不变因子、行列式因子、初等因子