树分解宽度如何分解算法

2024-05-18 20:33:19

现实里面的road network是存在着width比较小的tree decomposition的。

节点对应城镇，
边对应着城镇间的道路，
边权对应着距离

在road network里面，一个重要的问题就是对于任意给定的两个节点 s 和 t ，计算它们之间的最短距离 (shortest distance)。

这个问题可以用Dijkstra算法来计算，但在[1]中，作者给出了更好的解法：（ n表示图中节点的数量）

定理. 假设我们有关于road network G、width为 w、高度为 h 的一个树分解，那么存在一个大小为 O(n·h)的数据结构 S，使得我们能够在 O(w)时间内计算 G 中任意两个节点的最短距离。

在[1]中，作者对于美国的几个road network分别启发式地计算了一个次优（width不一定最小）的tree decomposition，得到的结果如下（第5和第6列）：

1. 定义

为了方便讨论，因为题目没给，下面先给出tree decomposition和treewidth的定义。

对于每个节点 v∈V，我们用

T(v)表示所有满足v∈Sz的树节点 z 所构成的子树
X(v)表示 T(v) 的根节点。

例如，对于下面这个图，

存在一个树分解（图2）。

树中的每个节点记录着对应的 Sz。

可以验证这棵树满足定义中的3个条件。

此外，以 v13 为例子， T(v13）为图中黄色背景的那棵子树，X(v13)为这颗子树的根。

treewidth的定义与tree decomposition相关，如下：

求treewidth是一个NP-hard的问题。在[1]中，作者用Bodlaender的启发式算法，在多项式时间内对一个给定的road network，计算它的一个tree decomposition。对于图1中的图，图2即为该算法的结果。该算法得到的tree decomposition除了定义中的3个性质，还满足另外一个性质：

作者：知乎用户
链接：https://www.zhihu.com/question/343030840/answer/833066097
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视频

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