数据结构的时间复杂度与空间复杂度、及相关证明

2024-05-19 18:22:09

0. 有向图无向图的时空复杂度

图的时空复杂度与其具体的表示形式有关，对于图的邻接表的表示形式，记 Adj[v] 为顶点 v 的出边构成的列表。为了考量其空间复杂度，首先需要记录全部的顶点，也即即使全部的顶点的出度均为0（顶点间相互孤立），仍然需要 O(V)O(V) 的时间复杂度。

图是一种连接图，每条边在 list 中仅出现一次，
图是无连通图，每条边在 list 中却出现两次；

也即以上两种情况下，全部 list 中的元素之和，不超过边数目的2倍，又由 2E ⇒ O(E)，因此为了记录顶点以及记录边，空间复杂度为 O(V+E)O(V+E)，当然也等于 O(max(V,E))O(\max(V,E))，不妨设 c=2c=2，则 O(max(V,E))=2max(V,E)≥V+EO(\max(V,E))=2\max(V,E)\geq V+E

1. T(n)=T(⌊n√⌋)+1T(n)=T(\lfloor\sqrt n\rfloor)+1

本质上是看将一个数开多少次平方根，其值才会接近于 1.

n12k=a,1<a<2⇒k=loglogn

n^{\frac1{2^k}}=a, \quad 1

显然，loglogn\log\log n 的时间复杂度要小于 logn\log n，因为 logn<n\log n，而 logx\log x 又是一个单调递减函数。

再来看一道稍微复杂点的情况，T(n)=n√T(n√)+nT(n)=\sqrt nT(\sqrt n)+n，等式两边同时除以 nn，则可化为：

T(n)n=T(n√)n√+1⇒f(n)=f(n√)+1

\frac{T(n)}{n}=\frac{T(\sqrt n)}{\sqrt n}+1 ⇒ f(n)=f(\sqrt n)+1

由上面的情况可知，f(n)⇒O(loglogn)f(n) ⇒ O(\log \log n)，因此原始问题的时间复杂度为 O(nloglogn)O(n\log \log n)

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