梁友栋-Barsky算法

梁友栋-Barsky算法

此算法的主要特色
- 把二维裁剪的问题化成二次一维裁剪问题，而把裁剪问题转化为解一组不等式的问题；
- 改善了Cohen-Sutherland 的编码算法中全部摒弃的判断只适合于那些仅在窗口同一侧(或左、或右、或上、或下) 线段的不足。

算法分成一维和二维两部分，前者是后者的基础。

一维裁剪
- 一维裁剪的本质是求取2条线段的公共部分。
  
  一维裁剪算法原理示意图
  - 线段P1P2与一维窗口W1W2的位置分布（未列出重端点状况）
- 设W1W2为一维窗口，P1P2是给定的线段，则P1P2在一维窗口W1W2内的可见部分为：
  
  S=W1W2∩P1P2
  
  令w1,w2和x1,x2分别为W1,W2和P1,P2点的坐标，则P1P2至少部分可见的充要条件是：
  
  max(min(x1,x2), min(w1,w2))≤ min(max(x1,x2), max(w1,w2))
  
  （假设线段和窗口均从左至右排列，可简写为：max(x1 , w1) ≤ min(x2,w2) ）即
  - 线段和窗口：左端点中大者≤右端点中小者
    　
二维裁剪
- 二维裁剪算法的本质是如何把二维裁剪的问题化成二次一维裁剪。
  
  设二维窗口为下列方程所确定：
  
  x=XL
      x=XR (记XL≤x≤XR的区域为Δx)
      y=YB
      y=YT (记YB≤y≤YT的区域为Δy)
  　
  
  则平面上任意线段P1P2在窗口内的部分为：
  
  P1P2∩Δx∩Δy
  
  设通过P1P2的直线与窗口左、右、上、下边界的交点分别为L、R、B、T，则P1P2可见部分亦可表为：
  
  P1P2∩LR∩BT
  
  　
- 当直线垂直时
  - xp1=xp2
    　
    
    且XL≤xp1≤XR时，P1P2∩LR∩BT 等价于求P1P2∩BT；
    　
- 当直线平行时
  - yp1=yp2
    　
    
    且YB≤yp1≤YT时，P1P2∩LR∩BT 等价于求P1P2∩LR；
    　
- 线段P1P2既不平行于窗口垂直边界，也不平行于窗口水平边界时
  - 即当xp1≠xp2，且yp1≠yp2
    - L、R、B、T都是确定的
      　
    - P1P2的斜率k=( yp2-yp1)/ ( xp2-xp1)为非零或非奇异值。
      
      xB= xp1 +(YB- yp1)/k；
      xT= xp1 +(YT- yp1)/k；
      
      且 xB <xT，当k>0；
      xT <xB，当k<0。
    令
    X1= max(xL，min(xp1，xp2))
    X2= min(xR，max(xp1，xp2))
    
    则P1P2∩LR为非空集合的充要条件是：
    
    X1≤X2（按照：max(x1 , w1) ≤ min(x2,w2)）
    
    此时线段P1P2与窗口在X轴方向的公共部分就是：
    
    ［X1，X2］
    
    而P1P2∩LR∩BT为非空集合的充要条件为：
    
    max(X1, min(xB , xT))≤min(X2, max(xB , xT))
    　
  - 它等价于下列三个不等式
    　
    - X1≤X2
      X1≤max(xB , xT)
      min(xB , xT)≤X2
      　
  - 三个不等式又等价于如下两组不等式
    - X1≤X2 （1）          X1≤X2
      X1≤xT （2）（k>0）   X1≤xB（k<0）
      xB≤X2 （3）          xT≤X2
      　
  - 当上述两组不等式中有任何一个不满足时，线段和窗口不可能有公共部分。
    　
  - 试观察上述三个不等式的几何意义
    　
    - 设k>0
      　
    - 式（1）X1>X2
      　
      - P1P2∩LR的交集为空，即P1P2∩Δx为空，
        
        此时P1P2，或在窗口左边界x=XL的左侧，或在窗口右边界x=XR的右侧
        
        　
    - 式（2）X1>xT
      - 此式意味着max(xL,min(xp1,xp2))>xT
        
        它相当于：xL>xT，或min(xp1,xp2)>xT
        
        k>0时，当xL>xT ，通过P1P2的直线与窗口上边界的交点T(xT)在窗口左边界的左侧，如a所示
        
        而min(xp1,xp2)>xT等价于：xp1>xT，或xp2>xT，表示线段P1P2在窗口上边界的上方，如b所示
        　
    - 式（3）xB>X2
      - 同理可知xB>X2表示直线穿越窗口下边边界y=YB和右边边界x=XR (图中c)，或是P1P2在y=YB的下方(图中d)
        
        　
    - 当k<0时
      - 当k<0时,线段与窗口的位置也有对应的4种情况
        
        这个方法增加了跨越三个区域的直线段(a和c状态)的快速拒绝判定。
        
        这些状态用Sutherland的编码法是不能一次予以解决的（它只能快速拒绝判定b和d）。
        
        　
二维裁剪算法的实施
- 当上述三个条件不全满足，那么线段P1P2至少是部分在窗口内部。此时，若k>0，则可见部分的端点为：
  
  当k<0时，只要交换YB和YT，表中所列结论均适用。
  
  转载 http://cg.sjtu.edu.cn/lecture_site/chap3/main.htm

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