泰勒公式推导过程_#泰勒#（Taylor）公式真的很难很难吗？
看到今天文章的题目啦，就知道这一期我们要讲泰勒公式了。作为重名明星Taylor Swift的忠实粉丝，本期编编当然是要推送她的歌曲啦。话说这些叫Taylor的都这么优秀吗？一个是让考研党铭记于心的著名数学家，一个是红遍全球的歌坛天后。
(图一：Brook Taylor&Taylor Swift)
闲话不多说，言归正传——泰勒公式
(一个对于初学者来说难记的要死的公式)
你们眼中的泰勒公式可能是这样的：
也可能是这样的：
·········
这个大名鼎鼎的泰勒公式真的有那么难吗？
首先想请问一下大家：
对于像自然对数e和圆周率?等无理数怎么样进行幂指运算呢？
18世纪早期英国牛顿学派中最优秀代表人物之一英国数学家泰勒(Brook Taylor),于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生.1709年后移居伦敦,获法学硕士学位.他在 1712年当选为英国皇家学会会员,并于两年后获法学博士学位.1714年出任英国皇家学会秘书,四年后因健康理由辞退职务.1717年,他以泰勒定理求解了数值方程.最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世.泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》,书内以下列形式陈述出他已于 1712年7月给其老师数学家梅钦信中首先提出的着名定理——泰勒定理。1772年 ,拉格朗日强调了此公式之重要性,而且称之为微分学基本定理(牛顿莱布尼兹公式被称为微积分基本定理),但泰勒在证明当中并没有考虑 级数的收敛性,因而使证明不严谨,这个级数收敛性的工作一直到十九世纪二十年代才由著名数学家柯西完成.
泰勒提出的泰勒公式巧妙的把无理函数(部分幂指函数)与简单容易计算的幂函数巧妙的结合了起来。
下面两个式子分别是带有拉格朗日余项和带有皮亚诺余项的泰勒公式
特别的，当我们取Xo=O,就可以得到麦克劳林公式
前面我们已经说过了：“泰勒提出的泰勒公式巧妙的把无理函数(部分幂指函数)与简单容易计算的幂函数巧妙的结合了起来”。那么可视化的数学下，泰勒公式是怎么拟合原来的函数(我们就以正弦函数为例)的呢？
为此编编做了一小段视频供大家分享。
视频可以明显直观的感受到泰勒公式对原来的无理函数契合力有多么强。
泰勒公式为何在考研题和竞赛题目中屡屡出现呢？
对于求极限的大多数题目涉及未定式，大多数同学们都考虑利用洛必达法但是众所周知，洛必达法则有它自己成立需要满足的“三个条件”，那么一旦条件不满足，洛必达法则失效，就要考虑一下泰勒公式和麦克劳林公式了，而不是一昧洛下去。
除了利用泰勒公式求极限泰勒公式大概还有一下几个应用
• 利用泰勒公式可以证明不等式
• 利用泰勒公式可以判断广义积分的敛散性
• 利用泰勒公式可以判断级数的敛散性
• 利用泰勒公式可以证明根的唯一存在性
• 利用泰勒公式可以判断函数的极值
• 利用泰勒公式可以求初等函数的幂级数展开式
• 利用泰勒公式可以进行近似计算
• 利用泰勒公式可以求高阶导数在某些点的数值
• 利用泰勒公式可以求行列式的值
············
偷偷告诉你们：编编做高考压轴题的时候就考虑了自然指数函数的3阶麦克劳林展开，但是没敢用泰勒公式做。
⚠️⚠️⚠️注意：
本文没有讲解泰勒公式的推导过程，在这里给大家提供一种思路：
利用微分中值定理推导出来一阶泰勒公式，然后利用迭代的思想顺势而为，即可完成推导哦！
今天的泰勒公式就讲到这里了，下次你们想听有关什么的知识或者数学史、数学家的故事呢？欢迎大家到公众号对话窗给编编留言哦！或者在下方评论区讨论哦！近期QQ交流群已经满员(500人)，想进群的朋友和读者可以去对话窗给我留言哦！编编会给你解决的哦。
“夜深方独卧，谁为拂尘床”
晚安啦！
最后送你们一张图
“可导一定连续，连续不一定可导”
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