柱面及其方程

学习李建平教授空间解析几何

• 柱面的定义

• 柱面方程及其特点

  • 准线位于坐标面母线平行于坐标轴的柱面方程及特点

  • 常见柱面

  • 一般柱面方程

• 柱面的参数方程

• 例1

• 例2

• 参考资料

回顾:圆柱面

圆柱面可以视为到一定直线的距离等于常数的动点的轨迹.

定直线取为轴

圆柱面也可以视为动直线绕一条平行的定直线旋转所得的旋转曲面．

圆柱面也可以视为动直线在圆周C上平行移动得到的曲面．

柱面的定义

在空间中，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所构成的曲面叫做柱面.

直观地，柱面就是由一条平行于直线  的直线沿曲线  连续平移而形成的平行直线族.

• 动直线  叫做柱面的直母线,
• 定曲线  叫做柱面的准线.

平行于动直线的方向  叫做直母线方向

【注1】柱面的准线是不唯一的．

与每一条母线都相交的曲线都可以作为柱面的准线.

【注2】柱面也可看成是由准线沿着平行于母线的直线平移而形成的曲面.

【注3】平面也是柱面.

可以看成是一条直线沿着另一条与之相交的共面直线移动而成.

柱面方程及其特点

引例   方程  在  空间表示圆柱面   ,但在  平面表示圆周  .

方程特点:方程中不含变量  .

几何特点(图一):

• 柱面S上点  在  平面上的投影点  在曲线  上.
• 柱面的母线平行于z轴，准线为   平面上的曲线  .

一般地，方程   在  空间表示柱面   ,但在  平面表示曲线  .

方程特点:方程中不含变量  .

几何特点(图三):

• 柱面S上点  在  平面上的投影点  在曲线  上.
• 柱面的母线平行于z轴，准线为   平面上的曲线  .

准线位于坐标面母线平行于坐标轴的柱面方程及特点

(1)方程表示柱面．母线平行于轴，准线为  平面上的曲线

(2)方程  表示柱面．母线平行于x轴，准线为  平面上的曲线

(3)方程表示柱面．母线平行于轴，准线为 平面上的曲线(图4)

常见柱面

一般柱面方程

已知准线和母线方向  ，求柱面  的方程．

在柱面S上取动点  ，作平行于母线方向v的直线交准线C于点 。则

消去参数 ? 得柱面的一般方程

柱面的参数方程

已知准线  ,和母线方向  的柱面S的方程．(图6)

在柱面S上取动点  ，作平行于母线方向v的直线交准线C于点  .

则柱面的参数方程为

例1

求准线为  平面上的椭圆  .母线平行于 直线的柱面方程﹒

**【解法1】**准线的参数方程为  .

在柱面S上取动点   ，作平行于母线方向  的直线交准线C于点  .

则柱面的参数方程为

消去参数  得柱面的一般方程

【解法2】 准线的一般方程为

在柱面S上取动点  ，作平行于母线的直线  交准线于点  ﹒则

整理得柱面的一般方程

例2

方程 ＋ 表示柱面?

【解】要说明曲面为柱面，只要说明它是由一族平行直线产生的.

作直线族  ,即  .

它们的方向向量均为  ，故它们是位于上的平行直线族.所以，曲面是柱面．

因母线交  平面于点  ，这些点形成的轨迹为柱面的准线  ．柱面的母线方向为 .

注 :柱面  的图形 ,它是一个双曲柱面 .

注 :曲线 也可以作为柱面S的准线 .

参考资料

[1] 宋卫东 . 《解析几何》，高等教育出版社.

[2] 丘维声编. 《解析几何》. 北京大学出版社.

[2] 吕林根，许子道等编. 《解析几何》. 高等教育出版社.

[3] 吕林根. 《解析几何学习辅导书》. 高等教育出版社.

[4] 谢敬然，柯媛元. 空间解析几何，高等教育出版社

[5] 周建伟 解析几何，高等教育出版社