【概述】

越底层的函数，调用越频繁，那么最底层的数学运算函数的优化至关重要。

当求逆平方根时，一般做法都是用函数返回 1/sqrt(x)，但在雷神之锤3 中，有一快速求逆平方根的算法。

【知识储备】

1.单精度浮点数的存储

在计算机中，单精度浮点数使用 32 位来存储，其中，最高位为符号位，后面 8 位为整数位 $e_x$ ，代表浮点数的指数，再后面 23 位代表小数部分 $m_x$ ，依次表示 $2^{-1}$ 、 $2^{-2}$ 、...

因此，如果 x 是一个正浮点数，则有： $x=2^{e_x}(1+m_x)$

如果想将一浮点数转为整数形式，则需要做如下运算： $I_x=E_xL+M_x=L(e_x+B+m_x)$

其中，L 是指数部分唯一需要的次数，M 是小数部分对应的整数版本，B 为 127

2.牛顿迭代法

牛顿迭代法，是求解任意连续函数的根值的一种方法。

对于如上函数，现要求这个函数的根：首先猜一个 $x_0$ ，假设它是函数的解，但由于其实际不是，因此需要将这个解迭代，使其逼近真正的解。

在 $(x_0,f(x_0))$ 处作其切线，求得切线方程： $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$ ，并求切线的根，可以发现对于真正的解已经逼近了一步。

推广到 n，继续迭代，就足够逼近真正的解： $x_{n+1}=x_n-f(x_n)f'(x_n)$

此时， $f(x_n),f'(x_n)$ 可被一个统一的函数来表示： $g(x)=f(x)f'(x)$

令 ε 为当前解与真正解 r 的距离，则： $\varepsilon _i=x_i-r$

综合方程，可得： $\varepsilon _i+1=\varepsilon _i-g(x_i)$

因此，只要 ε 小于某个特定的值，则可认为此时的 $x_i$ 与方程的解十分接近

【源码】

float Q_rsqrt( float number )
{long i;float x2, y;const float threehalfs = 1.5F;x2 = number * 0.5F;y = number;i = * ( long * ) &y;// evil floating point bit level hackingi = 0x5f3759df - ( i >> 1 );//what the fuck?y = * ( float * ) &i;y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );//1st iteration （第一次牛顿迭代）//y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );//2nd iteration, this can be removed（第二次迭代，可以删除）return y;
}

【分析】

如果要求一个浮点数的平方根倒数，一般求法为： $y=\frac 1 {\sqrt x}$

将其转化为关于 y 的方程，有： $f(y)=\frac 1{y^2}-x=0$

转换为牛顿迭代法的方程，有： $y_{n+1}=\frac {y_n(3-xy^{2n})}2$

此时，对原方程两边同取 2 的对数，有： $log_2\:y=-\frac 12 \:log_2(1+m_x)$

由于 $0\leqslant mx<1$ ，则在这个区间内，可以近似取： $log_2(1+m_x)\approx mx+\sigma$

根据方差的计算，当 σ=0.0430357 时，整体的偏差是最小的，此时上面的等号两边应该相当。

将上述公式整合，最终的 $I_x$ 可以写成： $I_x=Llog_2\:x+L(B-\sigma )$

则： $I_y\approx \frac 32 \:L(B-\sigma )-\frac 12 I_x$

其中： $\frac 32 \:L(B-\sigma ) = 0x5f3759df$

最终，写成代码就是：

i = 0x5f3759df - ( i >> 1 );

【关于源码】

求逆平方根的算法来自雷神之锤3(quake3) 的作者卡马克，该算法并不复杂，其核心就是用牛顿迭代法来不断逼近，但卡马克真正厉害的地方，在于他选择了一个十分神秘的常数：0x5f3759df 来计算猜测值，于是第一次牛顿迭代算出的值已经非常接近 $\frac 1 {\sqrt x}$ ，这样仅需两次牛顿迭代就可达到所需精度。

普渡大学的数学家 Chris Lomont 看了以后觉得有趣，决定要研究卡马克弄出来的这个猜测值有什么奥秘。

Lomont 在精心研究之后从理论上也推导出一个最佳猜测值：0x5f37642f，和卡马克的数字非常接近。

传奇并没有在这里结束。

Lomont 计算出结果以后非常满意，于是拿自己计算出的起始值和卡马克的神秘数字做比较，看哪个数字能够更快更精确的求得逆平方根，结果是卡马克赢了... 谁也不知道卡马克是怎么找到这个数字的。

最后 Lomont 采用暴力方法一个数字一个数字试过来，终于找到一个比卡马克数字要好上那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴力得出的数字是：0x5f375a86。

Lomont 为此写下一篇论文，"Fast Inverse Square Root"。

论文下载地址：
http://www.math.purdue.edu/~clomont/Math/Papers/2003/InvSqrt.pdf
http://www.matrix67.com/data/InvSqrt.pdf

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