同模余定理

题1-求S(n)

最大公约数（GCD）

题2-最简真分数

最小公倍数（LCM）

题3-求最小公倍数

斐波那契数

素数

题4-判断素数

题5-判定素数

题6-素数判定

题7-素数

同模余定理

定义所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数 d 去除，有相同的余数。d 数学上的称谓为模。

如 a = 6, b = 1, d = 5, 则我们说 a 和 b 是模 d 同余的。因为他们都有相同的余数 1 。

数学上的记法为： a≡ b(mod d) 可以看出当 n < d 的时候,所有的 n 都对 d 同商，比如时钟上的小时数，都小于 12，所以小时数都是模 12 的同余.对于同余有三种说法都是等价的,分别为:

(1) a 和 b 是模 d 同余的.

(2) 存在某个整数 n ,使得 a = b + nd .

(3) d 整除 a - b .

可以通过换算得出上面三个说话都是正确而且是等价的，同余公式也有许多我们常见的定律，比如相等律，结合律，交换律，传递律….如下面的表示:

1) a≡a(mod d)

2) a≡b(mod d)→b≡a(mod d)

3) (a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d) 如果 a≡x(mod d),b≡m(mod d),则

4) a+b≡x+m （mod d）

5) a-b≡x-m(mod d)

6) a*b≡x*m(mod d )

应用

(a+b)%c=(a%c+b%c)%c;

(a-b)%c=(a%c-b%c)%c;

(a*b)%c=(a%c*b%c)%c

同余模定理的运算不适用于除法

题1-求S(n)

题目描述

S(n)=n^5
求S(n)除以3的余数

输入描述:

每行输入一个整数n，(0 < n < 1000000)
处理到文件结束

输出描述:

输出S(n)%3的结果并换行

输入样例#:

1
2

输出样例#:

1
2

n 虽然不大，但是 n^5 却超过 long long 的范围，所幸的是题目只要我们对答案%3，这时候我们就可以运用同余模定理。 S(n)%3=(n^5)%3=(n*n*n*n*n)%3=((n%3)*(n%3)*(n%3)*(n%3)*(n%3))%3

#include<stdio.h>
#include <bits/stdc++.h>//万能头文件
using namespace std;
int n;
int main(){//(n*n)%3==((n%3)*(n%3))%3while(scanf("%d",&n)!=EOF){int res = n%3;for(int i = 1;i<5;i++){//for循环中再* n%3四次 res = res*n%3;}cout<<res%3<<endl;}return 0;}

最大公约数（GCD）

辗转相除法

辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫欧几里德算法。
用较大数除以较小数，再用出现的余数去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。最后为0，则除数为最大公约数。
依然是求18和30 的最大公约数，方法如图所示。

#include<stdio.h>
#include <bits/stdc++.h>//万能头文件
using namespace std;int gcd(int a,int b){if (b==0) return a;else return gcd(b,a%b)
}
int main(){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);printf("%d\n",gcd(x,y))}

题2-最简真分数

题目描述

给出n个正整数，任取两个数分别作为分子和分母组成最简真分数，编程求共有几个这样的组合。

输入描述:

每组包含n（n<=600）和n个数，整数大于1且小于等于1000。

输出描述:

每行输出最简真分数组合的个数。

输入样例#:

7
3 5 7 9 11 13 15

输出样例#:

最简真分数的必要条件就是不可以继续约分，那么不可以继续约分，就说明分子和分母的最大公约数为 1。因此，我们只需要枚举所有组合的情况然后判断 GCD 即可

#include<stdio.h>
#include <bits/stdc++.h>//万能头文件
using namespace std;int gcd(int a,int b){if(b==0) return a;else return gcd(b,a%b);
}int main(){int buf[900];int n,ans;while(cin>>n){for (int i = 0;i<n;i++)cin>>buf[i];ans = 0;for(int i = 0;i<n;i++)for(int j = i+1;j<n;j++)if(gcd(buf[i],buf[j])==1) ans++;cout<<ans<<endl;}return 0;
}

分数化简

例如：给你一个分数 12/30，让你将它化简，很明显，我们都知道它的答案是 2/5。

那么：如果给你一个分数 x/y 呢？如何化简？我们可以得出：x/y = (x/gcd(x,y))/(y/gcd(x,y)) 那么只用求出他们的最大公约数，然后除一下就可以得到答案了

最小公倍数（LCM）

求两个数的最小公倍数，下面这个公式即可。 LCM(x, y) = x * y / GCD(x, y)

翻译一下就是：两个数的最小公倍数等于两个数的乘积除以两个数的最大公约数。 所以要求两个数的最小公倍数，我们只需求出他们的最大公约数即可。

上面的式子经过变形，可以很容易得到下面这个式子 x * y = LCM(x, y) * GCD(x, y)

题3-求最小公倍数

题目描述：
正整数A和正整数B 的最小公倍数是指能被A和B整除的最小的正整数值，设计一个算法，求输入A和B的最小公倍数。

输入描述:
输入两个正整数A和B。

输出描述:
输出A和B的最小公倍数。

示例：
输入
5 7
输出
35

#include<stdio.h>
#include <bits/stdc++.h>//万能头文件
using namespace std;int gcd(int a,int b){if(b==0) return a;else return gcd(b,a%b);
} int lcm(int x,int y){return x*y/gcd(x,y);
} int main(){int m,n;while(cin>>m>>n){cout<<lcm(m,n)<<endl;}return 0;
}

斐波那契数

定义

斐波那契数列指的是这样一个数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233， 377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........ 这个数列从第 3 项开始，每一项都等于前两项之和。

公式

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

1、这个数列的上升速度非常快，很容易超过 int 和 long long 的范围

2、如果对答案取模，题目就可能要求我们计算第 10000000 项的值，我们就可以直接使用公式求解，后面的章节也会讲到用矩阵快速幂求解的方法。

3、如果给你一个数列：a(1) = 1， a(n+1) = 1 + 1/a(n)。那么它的通项公式为：a(n) =

素数

素数又叫质数。. 素数，指的是“大于1的整数中，只能被1和这个数本身整除的数”。

题4-判断素数

题目描述

输入一个整数，判断该整数是否为素数，若是，输出该整数，若否，输出大于该整数的第一个素数。（例如，输入为14，输出17，因为17是大于14的第一个素数）

输入描述:

输入一个整数n，n最大为10000。

输出描述:

按题意输出。

输入样例

输出样例

首先判断输入的 n 是不是一个素数，如果是的话就直接输出。如果不是的话，我们从 n+1 开始，对每个数去判断它是不是一个素数，直到找到一个素数的时候终止

#include<stdio.h>
#include <bits/stdc++.h>//万能头文件
using namespace std;int main(){int n;cin>>n;if(n==1&&n== 0) n++;for(int i = n; ; i++){int flag = 0;for(int j = 2;j<sqrt(i);j++){if (i % j == 0){flag  = 1;break;}}if(flag==0){printf("%d\n",i);break;}}return 0;}

题5-判定素数

给定一个数n，要求判断其是否为素数（0,1，负数都是非素数）。

输入描述:

测试数据有多组，每组输入一个数n。

输出描述:

对于每组输入,若是素数则输出yes，否则输入no。

输入样例#:

输出样例#:

yes

#include<stdio.h>
#include <bits/stdc++.h>//万能头文件
using namespace std;int main(){int n;while(cin>>n){if(n<=1) cout<<"no"<<endl;else {int flag = 0;for(int i = 2;i<sqrt(n);i++){if(n%i==0){flag  = 1;break;}}if(flag ==0)cout<<"yes"<<endl;elsecout<<"no"<<endl;}}return 0;
}

题6-素数判定

题目描述

给你两个数a、b,现在的问题是要判断这两个数组成的区间内共有多少个素数

输入描述:

多组测试数据。 每个测试数据输入两个数a、b。(2<=a,b<=1000)

输出描述:

输出该区间内素数的个数。

输入样例#:

2 4
4 6

输出样例#:

2
1

提示

请注意a和b的大小关系不定

#include<stdio.h>
#include <bits/stdc++.h>//万能头文件
using namespace std;int a,b;
bool is_prime(int n){for(int i = 2;i<n;i++)if(n%i==0) return false;return true;
}int main(){while(cin>>a>>b){int cnt = 0;for(int i = min(a,b);i<=max(a,b);i++)if(is_prime(i)) cnt++;cout<<cnt<<endl;}}

题7-素数

题目描述

输入一个整数n(2<=n<=10000)，要求输出所有从1到这个整数之间(不包括1和这个整数)个位为1的素数，如果没有则输出-1。

输入描述:

输入有多组数据。
每组一行，输入n。

输出描述:

输出所有从1到这个整数之间(不包括1和这个整数)个位为1的素数(素数之间用空格隔开，最后一个素数后面没有空格)，如果没有则输出-1。

输入样例#:

输出样例#:

11 31 41 61 71

#include<stdio.h>
#include <bits/stdc++.h>//万能头文件
using namespace std;bool is_prime(int n){if(n<2) return false;for(int i = 2;i<n;i++){if(n%i==0) return false;}return true;
}int main(){int n;while(cin>>n){int flag=0;for(int i = 2;i<n;i++){if(is_prime(i)&&i%10==1){flag=1;cout<<i<<" ";}}if(flag==0)cout<<"-1";cout<<endl;}
}

题8-小于m的最大的10个素数

给定一个整数m（50<m<20000），找出小于m的最大的10个素数。

输入格式:

输入在一行中给出一个正整数m（50<m<20000）。

输出格式:

在一行中按递减顺序输出10个满足条件的素数，每个素数输出占6列。没有其它任何附加格式和字符。

输入样例:

输出样例:

   227   223   211   199   197   193   191   181   179   173

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{int m ,i,j,count = 0;scanf("%d",&m);for(i = m-1;i>=2;i--){for(j = 2;j<=sqrt(i);j++){if(i%j == 0) break;}if(j>sqrt(i)&&count<10){count++;printf("%6d",i); }}}

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