线性代数系列（四）--解方程组

主要内容

线性方程组的可解性
方程组的求解，解的结构
列满秩
行满秩
方阵满秩
总结

正文

线性方程组的求解一直是线性代数的核心问题，在前面介绍空间的时候就已经涉及到齐次线性方程组的求解，这里，我们不仅仅是求解齐次线性方程组，而是求解更一般的线性方程组 A x = b Ax=b Ax=b。在前面我们已经知道 A x = b Ax=b Ax=b有解的条件是 b b b在 A A A的列空间中，

方程组的可解性

使用例子： [ 1 2 2 2 2 4 6 8 3 6 8 10 ] × [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] = [ b 1 b 2 b 3 ] \begin{bmatrix}1&2&2&2\\2&4&6&8\\3&6&8&10\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix} ⎣⎡1232462682810⎦⎤×⎣⎢⎢⎡x1x2x3x4⎦⎥⎥⎤=⎣⎡b1b2b3⎦⎤根据之前介绍列空间时，我们已经知道，方程组有解的条件就是当 b b b在 A A A的列空间中。这实际上是从方程组的线性组合的本质得到的。

方程组的解的结构

还是使用上面的这个例子： A x = b Ax=b Ax=b
第一步，我们先求一个特解（ x p x_p xp）。先使所有的自由变量为零，然后求出主变量。为了方便，我们令 b = [ 1 5 6 ] b=\begin{bmatrix}1\\5\\6\end{bmatrix} b=⎣⎡156⎦⎤上面的系数矩阵的行阶梯形矩阵为： [ 1 2 2 2 0 0 2 4 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix}1&2&2&2\\0&0&2&4\\0&0&0&0\end{bmatrix} ⎣⎡100200220240⎦⎤使自由变量 x 2 , x 4 x_2,x_4 x2,x4为零，然后带入求主变量 { x 1 + x 3 = 1 2 x 3 = 3 \begin{cases}x_1+x_3=1 \\ \qquad 2x_3=3\end{cases} {x1+x3=12x3=3然后我们可以得到一个特解： x p = [ − 2 0 3 2 0 ] x_p=\begin{bmatrix}-2\\0\\\frac{3}{2}\\0\end{bmatrix} xp=⎣⎢⎢⎡−20230⎦⎥⎥⎤ 第二步, 加上零空间（ x n x_n xn）。在前面已经介绍过零空间的求法，现在可以直接进行求解零空间，即：令b=0 即可。然后我们可以得到零空间： x n = c 1 [ − 2 1 0 0 ] + c 2 [ 2 0 − 2 1 ] x_n=c_1\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\end{bmatrix} xn=c1⎣⎢⎢⎡−2100⎦⎥⎥⎤+c2⎣⎢⎢⎡20−21⎦⎥⎥⎤这里为了保持特解与零空间位置上的对应，并没有将解写成 [ − F I ] \begin{bmatrix}-F\\I\end{bmatrix} [−FI]的形式。
至此我们就得到线性方程组的解的结构： X = x p + x n X=x_p+x_n X=xp+xn，我们再看一下 X X X的几何表示，它有两部分，一部分是 x p x_p xp，表示的是四维空间中一个特定的点，而另一部分 x n x_n xn表示四维空间中的一个二维平面。所以，整体来看，这个解表示在四维空间中，过特定点的一个二维平面。

列满秩

考虑矩阵 A m ∗ n A_{m*n} Am∗n的秩 r r r，首先可以知道的是 r ≤ m ， r ≤ n r\le m，r\le n r≤m，r≤n。现在来考虑一种特殊的情况， r = n r=n r=n，这就是列满秩的情况。秩意味着主元的个数，列满秩就是表示所有的列上都含有主元，所以此时是没有自由向量的。实际上，这种情况下，列向量组是一个线性无关组，也就是他们的线性组合只有在系数为零的情况下才能够组合得到零向量。 0 a 1 + 0 a 2 + 0 a 3 . . . . 0 a n − 1 + 0 a n = 0 0a_1+0a_2+0a_3....0a_{n-1}+0a_n=0 0a1+0a2+0a3....0an−1+0an=0那么，我们令 A x = b Ax=b Ax=b的 b = 0 b=0 b=0，得到的 x x x也只能是0，所以列满秩的情况下零空间只有一个零向量，这也是有线性组合的本质决定的。对于 X = x p + x n X=x_p+x_n X=xp+xn，既然 x n = N （ A ） = 0 x_n=N（A）=0 xn=N（A）=0，那显然方程组的解只有一个特解。

但是列满秩的情况下一定有解吗？在下面的行满秩中我们可以知道列满秩的情况只可能出现在 m ≥ n m\ge n m≥n的情况下。当 r = n = m r=n=m r=n=m时，我们放在最后讨论，这里只讨论 m > n m>n m>n的情况。例如系数矩阵： [ 1 0 0 1 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix}1&0\\0&1\\0&0\\0&0\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡10000100⎦⎥⎥⎤它的线性组合是4维空间中的一个2维平面，但是常数项 b 4 b_4 b4确是四维空间中的任意一个向量，所以常数项所表示的向量不一定在系数矩阵的列空间中，所以方程组不一定有解。一般来说就是它的线性组合是 m m m维空间中的一个 n n n维平面，但是常数项 b m b_m bm不在系数矩阵的列空间中，所以方程组不一定有解

行满秩

对于上面的矩阵 A m ∗ n A_{m*n} Am∗n，当 r = m r=m r=m时，就是行满秩的情况。显然，这种情况下，我们有 m m m个主元，也就是每行都有一个主元。那么，自由变量的个数就是 n − r = n − m n-r=n-m n−r=n−m。最终，我们仍然关心方程组的可解性。无论何时，总是离不开两种操作，一个是向量空间，一个是线性组合。在这里我们仍然可以在向量空间的角度来解读行满秩系数矩阵的可解性。

这里我们可以发现一种制约关系：当 m > n m>n m>n时，若行满秩 r = m r=m r=m，则列肯定满秩，但由于列数太少 m > n m>n m>n，所以 n n n不可能等于 r r r，在这种情况下，只可能 r = n r=n r=n，而不可能 r = m r=m r=m，也就是当 m < n m<n m<n时，只可能 r = m r=m r=m，同理对 n n n也成立。看下面的矩阵， m < n m<n m<n，那么我们无法再找到主元使行满秩。 [ 1 0 0 1 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix}1&0\\0&1\\0&0\\0&0\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡10000100⎦⎥⎥⎤基于上面的讨论，我们可以知道，行满秩的情况只可能出现在 m ≤ n m\le n m≤n的情况下，那么在 n n n个列向量中肯定存在 m m m个含有主元的列，这些列可以通过线性组合得到 m m m维空间中的所有向量，而我们的常数项 b m b_m bm一定是 m m m维空间中的一个向量，所以行满秩的线性方程组一定有解。

方阵满秩

方阵满秩也就是对于系数矩阵 A m ∗ n A_{m*n} Am∗n，有 r = m = n r=m=n r=m=n。基于前面介绍的行、列满秩，我们知道列满秩时，零空间只含零向量，行满秩时，对解没有约束，一定有解。所以，这里我们就可以得出，方阵满秩的时候，只有一个特解。

在空间的角度上，我们也可以这么解读， A A A的列空间是 m m m维空间， b m b_m bm是 m m m维空间中的一个任意向量，那么肯定存在，且只存在一组系数使得 A A A中的列向量线性组合得到 b m b_m bm。

总结

总得来看，方阵满秩只有一个解，行满秩一定有解，列满秩不一定有解，有解也只能有一个解。