第 2-3 课：迭代法计算定积分

这一课我们介绍两种计算数值积分的常用算法，分别是变步长梯形公式法和变步长辛普森公式法。首先从梯形公式入手来推导出复合梯形公式法，在实现复合梯形公式法的基础上，再实现变步长梯形公式法。同样，变步长辛普森公式法也是从辛普森公式入手的，首先实现复合辛普森公式法的算法，然后再实现变步长辛普森公式法。这两种变步长的方法都是使用了迭代法的思想，但是和之前几课中介绍的迭代法略有不同。之前介绍的牛顿迭代法、雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法都是通过迭代关系式来实现新值和旧值的更替。

这一课介绍的两个算法没有迭代关系式，它是通过控制计算范围的变化来获得迭代自变量的值，用直接替换的方法来实现新值和旧值的更替，因此在构造算法实现的方法上也有差异。

梯形公式法

假设被积函数为 f(x)，积分区间为 [a,b]，根据定积分的几何意义，定积分就是求函数 f(x) 在区间 [a,b] 中曲线下包围的面积。在数值分析领域中，通常用梯形公式法近似计算定积分。如图（1）所示，用计算曲线内接梯形面积的方法来近似计算定积分，梯形公式可定义为：

图（1）定积分的几何意义与梯形公式示意图

复合梯形公式法

用梯形公式计算定积分，当区间 [a,b] 比较大的时候，其误差也会大到无法接受。如果将大的区间分割成 n 个小的

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