矩阵对应多项式?多项式?→从特征多项式和哈密顿凯莱定理开始
首先将一个矩阵和一个多项式对应起来(矩阵的多项式,矩阵的零化多项式,相似的矩阵对应零化多项式有相同的最小多项式[https://zhidao.baidu.com/question/273308991.html])
矩阵与对角化
两个相似的矩阵就是同一个线性映射在两组不同基底下的矩阵;寻找空间 中一个合适的基,使得映射在这个基下对应于一个对角矩阵
空间太大,处理起来麻烦。分解成直和后,就可以先在小范围处理再逐步扩展到原空间。但是很多时候还得保证我们处理后的结果不会“溢出”,这就要求不变子空间。
典型用处就是线代里的矩阵对角化。常微分方程里一个用处是寻找线性微分方程组的通解,当然本质上还是矩阵对角化。
名词解释:
特征子空间:特征值对应的子空间
特征子空间(characteristic subspace)是一类重要的子空间,即对应于线性变换的一特征值的子空间。设V是域P上的线性空间,σ是V的一个线性变换,σ的对应于特征值λ₀的全体特征向量与零向量所成的集合。
不变子空间:线性变换不改变的子空间
不变子空间亦称稳定子空间,又称平凡子空间,与线性变换有关的一种子空间。设σ是数域P上线性空间V的线性变换,W是V的子空间,若对W中的任意一个向量α,σ(α)也属于W,则称W是σ的不变子空间或称σ子空间。σ的值域与核以及σ的特征子空间等都是σ的不变子空间,有限维的复线性空间的所有的线性变换都有一维不变子空间,有限维实线性空间的线性变换都有一维或二维不变子空间,特别地,奇数维的实线性空间的每一个线性变换都有一维的不变子空间。
线性映射的特征子空间全部都是该映射的不变子空间。
若当标准型就是不变子空间分解
像与核一定是不变子空间:
像:首先线性变换不能升维,三维空间中的任何向量变到另一个同等或更低维度的空间,一定属于三维空间
核:在向量或矩阵的加法下核即映为零向量的向量,也就是T(核中的向量)=T(ker(T))=0,0属于核中的向量组成的空间
如何找到更多的不变子空间,使不变子空间的“和”能覆盖全空间?
如果 AB=BA,那么ker(B)也会是A不变子空间!线性变换及矩阵可交换的性质与应用_高明
又:T∗f(T)=f(T)∗T→ker(f(T))维不变子空间T*f(T)=f(T)*T\rightarrow ker(f(T))维不变子空间T∗f(T)=f(T)∗T→ker(f(T))维不变子空间
思考:有没有ker(f(T))对应原空间?这样ker(f(T))覆盖了整个全空间,全空间都是A的不变子空间有没有ker(f(T))对应原空间?\\ 这样ker(f(T))覆盖了整个全空间,全空间都是A的不变子空间有没有ker(f(T))对应原空间?这样ker(f(T))覆盖了整个全空间,全空间都是A的不变子空间
哈密顿凯莱定理
使f(T)=0的λ的多项式f(λ)称为矩阵A的零化多项式,n阶方阵T的特征多项式为T的一个零化多项式使f(T)=0的λ的多项式f(λ)称为矩阵A的零化多项式,\\n阶方阵T的特征多项式为T的一个零化多项式使f(T)=0的λ的多项式f(λ)称为矩阵A的零化多项式,n阶方阵T的特征多项式为T的一个零化多项式
如何应用Hamilton-Caylay定理将线性空间V按特征值分解成不变子空间的直和?
数学中的不变子空间问题
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