图论-度序列可图性判断(Havel-Hakimi定理)

0、可图：一个非负整数组成的序列如果是某个无向图的度序列，则该序列是可图的。

1、度序列：Sequence Degree，若把图G所有顶点的度数排成一个序列，责成该序列为图G的一个序列。该序列可以是非递增序的、可以是非递减序列、可以是任意无序的。

2、Havel-Hakimi定理：给定一个非负整数序列{d1,d2,…dn}，若存在一个无向图使得图中各点的度与此序列一一对应，则称此序列可图化。进一步，若图为简单图，则称此序列可简单图化。

定理描述：由非负整数组成的有限非递增序列，S={d1,d2,d3…dn}，当且仅当S1={d2-1,d3-1…d(d1+1),d(d1+2)…dn}也是可图的，也就是说，序列S1也是由非负整数组成的有限非递增序列，S1是由S的删除第一个元素d1之后的前d1个元素分别减一后得到的序列。

（注，Havel-Hakimi定理讨论的是在非递增序列下判别是否可图的定理）

3、证明略，实例演示：

判断序列S:=6，5，4，3，3，3，2，0 是否可图。

证：a. 删除首元素6，将除去第一个元素后面的6个元素减一，得到：S1 = 4,3,2,2,2,1,0

b.删除首元素4，将除去第一个元素后面的4个元素减一，得到：S2 = 2,1,1,1,1,0

c,删除首元素2，将除去第一个元素后面的2个元素减一，得到：S3 = 0,0,1,1,0

d.重新排序：S4 = 1,1,0,0,0

e.删除首元素1，将除去第一个元素后面的1个元素减一，得到：S3 = 0,0,0,0

则最后得到的是非负序列，证明序列式可图的！

判断序列S:=7，6，4，3，3，3，2，1 是否可图。

证：a. 删除首元素7，将除去第一个元素后面的7个元素减一，得到：S1 = 6,3,2,2,2,1,0

b.删除首元素6，将除去第一个元素后面的6个元素减一，得到：S2 = 2,1,1,1,0,-1

最后得到的是存在负数的序列，证明序列式不可图的！

光说不练假把式，来一导poj原题，Frogs’ Neighborhood

Havel-Hakimi定理的核心部分：

     for (int i = 1; i <= N; i++) {for (int j = i + 1; j <= N && a[i].num > 0; j++) {a[i].num--;a[j].num--;g[a[i].id][a[j].id] = g[a[j].id][a[i].id] = 1;}sort(a + i + 1, a + N + 1, cmp);if (a[i].num > 0) { sign = 0; break; }}

完整代码：

#define inf 0x3f3f3f3f
#define vec vector<int>
#define P pair<int,int>
#define MAX 15
#define ll long longstruct node {int id, num;
};
bool cmp(node n1, node n2) {return n1.num > n2.num;
}
int T, N, g[MAX][MAX];
node a[MAX];int main() {cin >> T;while (T--) {cin >> N;int sign = 1;memset(g, 0, sizeof(g));for (int i = 1; i <= N; i++)cin >> a[i].num, a[i].id = i;sort(a + 1, a + N + 1, cmp);for (int i = 1; i <= N; i++) {for (int j = i + 1; j <= N && a[i].num > 0; j++) {a[i].num--;a[j].num--;g[a[i].id][a[j].id] = g[a[j].id][a[i].id] = 1;}sort(a + i + 1, a + N + 1, cmp);if (a[i].num > 0) { sign = 0; break; }}if (a[N].num < 0 || !sign) {cout << "NO" << endl << endl;}else {cout << "YES" << endl;for (int i = 1; i <= N; i++) {for (int j = 1; j <= N; j++)cout << g[i][j] << ' ';cout << endl;}cout << endl;}}
}

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