树的搜索问题1（深度优先、广度优先，爬山法和best-first）

前言

我们在解决问题中经常使用到的数据结构一定少不了树，在数据结构这一大块中，我们对每一个结构都会讲各种形形色色的操作，比如栈的压栈出栈，树的各种遍历，但其实数据结构最重要的操作其实是搜索。如果我们不知道链表的搜索，如何插入删除？不知道图的搜索，如何寻找最小生成树？

虽然我们讲的是树的搜索，但是本篇文章探讨的问题并非是树，而是将问题转化为树结构来处理。

树的几种常见搜索方式

我们先给出几种常用的例子吧。

布尔表达式，给一组布尔变量和一个用这些变量组成的布尔表达式，需要寻找一种赋值方式使表达式为真
8-puzzle问题，给一个九宫格，需要进行排序
有n个结点的连通图G=(V,E)，V为点集，E为边集，寻找哈密顿环。
哈密顿环是沿着边遍历每一个结点有且仅有一次最后回到起点的环

上述的三个问题，很明显都是能将问题转换成一棵树结构的，第二个就是每次移动一格来形成树；第三个哈密顿环就不用说了，很明显的每一次选择一个顶点，标准树结构。
而且上述问题都是遍历树寻找正确答案的那种，所以我们先解决这几个问题。

接下来给出几个常用的树搜索策略：

暴力搜索
深度优先
广度优先

这几个其实都不常用，嗯就是这样，尤其第一个。
这里提到的原因主要是后面的其实还是会用到这些基本解决办法。

深度优先
说白了就是在搜索的时候，我们先从一条线走到叶子节点，然后回到上一个分支处，从另一条分支走，不断重复直到最后我们找到目标节点或者遍历完整棵树。

比如这样的一棵树，我们深度优先的方式就是ABD（回溯到A）CG（回溯到C）EF

因为需要回溯，所以我们采取的数据结构为栈

首先将根节点压栈，
判断栈顶元素是否为目标结点，不是继就续
将栈顶弹出，将被弹出元素的所有孩子结点压栈（按照从右到左的顺序，因为我们要保证先走左子树）
当S为空，说明没找到，否则继续操作2

广度优先
首先，广度优先和深度优先相似，但是我们这次采取的方法是先遍历行。
从顶点开始，先遍历所有的子节点，然后遍历第一个孩子结点的孩子结点，然后是第二个孩子的……

还是这棵树，这次我们广度优先的结果是：ABCD（找到第二个孩子C）GEF

因为也需要回溯，我们还是找一个结构存起来，这次我们采取的是队列

首先将根节点入队列
如果队列首元素是目标节点，结束程序
否则将队首元素出队，将其所有孩子结点入队
如果队列为空，说明没有找到，否则重复操作2

爬山法

在深度优先和广度优先中，我们每一个根节点都会遇到很多个可拓展对象，那么哪一个先进行就是一个问题，
但我们还学过贪心啊（点击查看博客），我们能否将两者合并？

爬山法就是这样的产物，是由贪心算法和深度优先算法相结合的产物。
同深度优先，爬山法也需要使用栈。

将根节点压栈
如果栈顶元素就是我们的目标节点，结束
将栈顶元素出栈，同时将出栈的元素按照一定的顺序压栈
如果栈空，说明没找到；否则继续操作2

就是将我们深度优先的压栈方式改了一下么，那么这一定的顺序是什么呢？
比如在8-puzzle问题中，我们需要将8个方块归位，那么我们就可以定义一个测度，这里的测度是放置错误的方块的个数，毕竟当前正确的方块越多，按理来说就应该更接近问题的正确答案。

然后，我们来看一下贪心部分，很明显，他不能保证每一次都是最好的……
接下来，就需要进一步优化了。
（虽然不能保证最好，但是在有些情况下用着也还行，kmp还牛皮了，但是我们暴力匹配一下也没啥，工程上也总是直接贪心，不怎么考虑正确性）

best-first

有没有一种方法，既能快速又能产生最短结果的方法？
之前是深度优先的同时，就直接选取了贪心出来的当前最优解，那么我们可以效仿广度优先，将当前所有的可能比较一下，而不是将目光限定在当前的一条分支的选择上。

比如上面的8-puzz问题截图，在爬山法选定最左边的3之后，我们的目光就停在2和4上了，
而我们的bf算法，则是将2、4和上一步留下的344都一起考虑了。

这次我们的存储结构再次更换，使用的是堆。
（如果对堆不够清楚，这是之前关于堆的博客）

将根节点存入堆中
如果堆的根节点是目标节点，结束程序
否则将根节点删除，将根节点的孩子节点加入堆中
如果堆为空，说明没找到，否则就继续操作2

在这种方法中，我们的贪心策略就是成立的，因为是全局选择。

总结

我们在这篇博客中讲解了深度优先、广度优先，虽然只是简单提了一下，
然后延申出了基于深度优先和贪心的爬山法，
还有深度优先、广度优先和贪心的best-first算法。
这些方法不但在上述问题中会遇到，而且在我们的下一篇博客也会提到关于最值问题的解决办法。
（提示一下，这篇博客主要是讲从树结构中选择正确的答案，但在最值问题中我们不知道最佳答案，这时就需要其他的算法了。）