多元函数第五：拓扑初步（1）：开集，闭集，内部，边界，外部

计算机专业的人，知道拓扑学的，寥寥无几。在我看来，拓扑学是用代数的方法研究分析学的一门学科。类似的学科，其实还有很多，例如测度论，泛函等等。它们的共同特点是把分析学中最基本的概念进行抽象，从而得到一般的，普适性的结论。

本文首先介绍n维实数空间的拓扑性质，后面再推而广之，介绍一般的拓扑空间的性质。拓扑学中，最基本的两个概念是开集和闭集。开和闭这两个词，即使是没有拓扑学基础的同学，也不会感到陌生。我们都知道，形如(a,b)(a, b)(a,b)的区间是开区间，它是一个开集。形如[a,b][a, b][a,b]的区间是闭区间，它是一个闭集。开集和闭集并不是互补互斥的。存在既是开集又是闭集的集合，也存在既不是开集也不是闭集的集合。

RnR^nRn上的开集，是由邻域的概念推广而来。

定义.对于RnR^nRn空间上的点xxx，它的δ\deltaδ邻域U(x,δ)U(x,\delta)U(x,δ)，是一个以xxx为圆心，δ\deltaδ为半径的开球，也即
U(x,δ)={y∈Rn:∣x−y∣<δ},U(x,\delta)=\{y\in R^n: |x-y|<\delta\}, U(x,δ)={y∈Rn:∣x−y∣<δ},
其中δ\deltaδ是一个正实数。

有了邻域的概念，就可以定义集合的内部。

定义.对于集合SSS中的点xxx，我们说xxx是S的内点，如果存在一个δ>0\delta > 0δ>0使得U(x,δ)⊆SU(x,\delta) \subseteq SU(x,δ)⊆S。注意，这里δ\deltaδ的取值，可以与xxx有关。

例. 开区间S=(a,b)S=(a, b)S=(a,b)中的任何点xxx都是SSS的内点。因为设δ1=x−a,δ2=b−x\delta_1 = x-a, \delta_2=b-xδ1=x−a,δ2=b−x,那么当δ=min⁡(δ1,δ2)/2\delta = \min(\delta_1, \delta_2)/2δ=min(δ1,δ2)/2时，有U(x,δ)⊆SU(x,\delta)\subseteq SU(x,δ)⊆S。
例. 闭区间S=[a,b]S=[a, b]S=[a,b]中的点aaa不是SSS的内点，因为aaa的任何邻域U(a,δ)U(a, \delta)U(a,δ), 都有U(a,δ)⊄SU(a,\delta) \subset\not SU(a,δ)⊄S。这是因为a−δ/2∈U(a,δ)a-\delta/2 \in U(a,\delta)a−δ/2∈U(a,δ)，但是a−δ/2∉Sa-\delta/2\notin Sa−δ/2∈/S。

定义.给定集合SSS以及RnR^nRn上的点xxx，我们说xxx是S的外点，如果存在一个δ>0\delta > 0δ>0使得U(x,δ)∩S=∅U(x,\delta) \cap S = \emptysetU(x,δ)∩S=∅。注意，这里xxx必然在集合SSS之外，也即x∉Sx\notin Sx∈/S。

例. 对于开区间S=(a,b)S=(a, b)S=(a,b)，任何小于aaa或者大于bbb的点，都是SSS的外点。

通过上面的例子，我们已经知道，对于开区间S=(a,b)S=(a, b)S=(a,b)来说，所有小于aaa或者大于bbb的点，都是SSS的外点。所有大于aaa且小于bbb的点都是S的内点。那么有两个点，非常特殊，它们既不是内点，也不是外点，我们称之为边界点。它们就是aaa点和bbb点。

边界点的严格定义如下。
定义.给定集合SSS以及RnR^nRn上的点xxx，我们说xxx是S的边界点，如果对于任意δ>0\delta > 0δ>0都有U(x,δ)∩SU(x,\delta) \cap SU(x,δ)∩S非空，且U(x,δ)⊈SU(x,\delta) \subseteq\not SU(x,δ)⊈S。

集合的边界点可以属于该集合，也可以不属于该集合。例如对于集合S=[a,b)S=[a, b)S=[a,b)。它的边界点是aaa和bbb。但是a∈Sa\in Sa∈S而b∉Sb\notin Sb∈/S。

一个集合SSS的内点的集合，称为集合SSS的内部，记为int(S)int(S)int(S)；外点的集合称为外部，记为ext(S)ext(S)ext(S)；边界点的集合称为边界，记为Bd(S)Bd(S)Bd(S)。集合的外部，内部和边界互不相交。它们的并，正好是整个RnR^nRn空间。同时，我们可以很容易推出：

int(S)⊆Sint(S)\subseteq Sint(S)⊆S;
ext(S)∩S=∅.ext(S)\cap S=\emptyset.ext(S)∩S=∅.

这里唯一比较暧昧的是边界与集合的关系。而由边界和集合的关系，便引出了开集与闭集的概念。
定义. 我们说集合SSS是开集，如果int(S)=Sint(S)=Sint(S)=S.
定义. 我们说集合SSS是闭集，如果SSS的补集ScS^cSc是开集.

由上面的定义，我们立即知道，SSS是开集，当且仅当SSS所有的边界点都不属于SSS。这样，开区间(a,b)(a,b)(a,b)就是一个开集了。而闭区间和半开半闭区间都不是开集，这也很容易验证。

由于闭集的定义是由开集而来，因此要研究闭集的性质，就需要先研究开集的性质。后文继续讨论。

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