文章目录

1、函数的概念
2、函数的特性
- 2.1、函数的有界性
- 2.2、函数的单调性
- 2.3、函数的奇偶性
- 2.4、函数的周期性
3、反函数和复合函数
- 3.1、反函数
- 3.2、复合函数
4、函数的运算
5、初等函数

1、函数的概念

定义：设数集D⊂RD\subset RD⊂R，则称映射f:D→Rf:D\rightarrow Rf:D→R 为定义在D上的函数，通常记为

y=f(x),x∈Dy=f(x),x\in D y=f(x),x∈D

名词解析：

x称为自变量，y称为因变量，D为定义域。
函数值：y称为f在x处的函数值，记做f(x)f(x)f(x)，即y=f(x)y=f(x)y=f(x)
函数关系：因变量y与自变量x之间的依赖关系，称为函数关系
值域：函数值f(x)f(x)f(x)的全体构成的集合称为函数f的值域，记做RfR_fRf或f(D)f(D)f(D)，即
Rf=f(D)={y∣y=f(x),x∈D}R_f=f(D)=\{y|y=f(x),x\in D\} Rf=f(D)={y∣y=f(x),x∈D}

辨析-f和f(x)f(x)f(x)的区别:

f表示自变量x与因变量y之间的对应法则
f(x)f(x)f(x)表示与自变量x对应的函数值

函数相等判定：
1. 定义域相同
2. 对应法则相同
定义域确定：
1. 有实际背景的函数：根据实际背景中变量的实际意义确定
2. 抽象的用算式表达的函数：通常约定使算式有意义的一切实数的集合，这种定义域也称为自然定义域。
函数的表示方法：
1. 表格法
2. 图形法
3. 解析法
常见函数示例：
1. 绝对值函数
  y=∣x∣={x,x >= 0,−x,x < 0y= \lvert x\rvert= \begin{cases} x, &\text{x >= 0,}\\[2ex] -x,&\text{x < 0} \end{cases} y=∣x∣=⎩⎨⎧x,−x,x >= 0,x < 0
  定义域D=(−∞,+∞)D=(-\infty,+\infty)D=(−∞,+∞)，值域Rf=[0,+∞)R_f=[0,+\infty)Rf=[0,+∞)，该函数称为绝对值函数，图示：
2. 取整函数
  y=[x]y=[x] y=[x]
  定义域D=(−∞,+∞)D=(-\infty,+\infty)D=(−∞,+∞),值域Rf=ZR_f=ZRf=Z，图示：
3. 分段函数
  y={2x,0≤x≤1,1+x,x>1y = \begin{cases} 2\sqrt{x}, &0\le x\le 1,\\[2em] 1+x, &x\gt 1 \end{cases} y=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2x,1+x,0≤x≤1,x>1
  定义域D=[0,+∞)D=[0,+\infty)D=[0,+∞)，图示：

2、函数的特性

2.1、函数的有界性

设函数f(x)f(x)f(x)的定义域D，数集X⊂DX\sub DX⊂D。如果存在数K1K_1K1，使得
f(x)≤K1f(x)\le K_1 f(x)≤K1
对任一x∈Xx\in Xx∈X都成立，则称函数f(x)f(x)f(x)在X上有上界，而K1K_1K1称为函数f(x)f(x)f(x)在X上的一个上界。如果存在数K2K_2K2，使得
f(x)≥K2f(x)\ge K_2 f(x)≥K2
对任一x∈Xx\in Xx∈X都成立，则称函数f(x)f(x)f(x)在X上有下界，而K2K_2K2称为函数f(x)f(x)f(x)在X上的一个下界。如果存在正数M，使得
∣f(x)∣≤M\lvert f(x)\rvert\le M ∣f(x)∣≤M
对任一x∈Xx\in Xx∈X都成立，则称函数f(x)f(x)f(x)在X上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)f(x)f(x)在X上无界。即对应任何正数M，总存在x1∈Xx_1\in Xx1∈X，使得∣f(x1)∣>M\lvert f(x_1)\rvert\gt M∣f(x1)∣>M，那么函数f(x)f(x)f(x)在X上无界。

函数f(x)f(x)f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。

2.2、函数的单调性

设函数f(x)f(x)f(x)的定义域D，区间I⊂DI\sub DI⊂D。如果对于区间III上的任意两点x1,x2x_1,x_2x1,x2，当x1<x2x_1\lt x_2x1<x2时，恒有
f(x1)<f(x2)f(x_1)\lt f(x_2) f(x1)<f(x2)
则称函数f(x)f(x)f(x)在区间III上是单调递增（增加）的；如果对于区间III上的任意两点x1,x2x_1,x_2x1,x2，当x1<x2x_1<x_2x1<x2时，恒有
f(x1)>f(x2)f(x_1)\gt f(x_2) f(x1)>f(x2)
则称函数f(x)f(x)f(x)在区间III上是单调递减（减少）的。单调增加和单调减少统称为单调函数。

示例1f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2在区间(−∞,0](-\infty,0](−∞,0]上的单调递减的，在区间[0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞)上的单调递增的；在区间(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞)上不是单调的。图示：

2.3、函数的奇偶性

设函数f(x)f(x)f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任一的x∈Dx\in Dx∈D，
f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) f(−x)=f(x)
恒成立，则称f(x)f(x)f(x)为偶函数。如果对于任一的x∈Dx\in Dx∈D，
f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) f(−x)=−f(x)
恒成立，则称f(x)f(x)f(x)为奇函数。

偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称。

2.4、函数的周期性

设函数f(x)f(x)f(x)的定义域为D。如果存在一个整数lll，使得对于任一x∈Dx\in Dx∈D有(x+−l)∈D(x+-l)\in D(x+−l)∈D,使得
f(x+l)=f(x)f(x+l) = f(x) f(x+l)=f(x)
恒成立，则称函数f(x)f(x)f(x)为周期函数，lll为函数f(x)f(x)f(x)的周期，通常我们说的周期函数的周期为最小正周期。

并非每个周期函数都有最小正周期，比如狄利克雷函数
D(x)={1,x∈Q,0,x∈QcD(x)= \begin{cases} 1, & x\in Q,\\[2em] 0, & x\in Q^c \end{cases} D(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1,0,x∈Q,x∈Qc
任何正有理数都是它的周期，因为不存在最小的正有理数，说以它没有做小最小正周期。

3、反函数和复合函数

3.1、反函数

设函数f:D→f(D)f:D\rightarrow f(D)f:D→f(D)是单射，则它存在逆映射f−1:f(D)→Df^-1:f(D)\rightarrow Df−1:f(D)→D，称此映射f−1f^-1f−1为函数fff的反函数。

一般的，y=f(x),x∈Dy=f(x),x\in Dy=f(x),x∈D的反函数记做y=f−1(x),x∈f(D)y=f^-1(x),x\in f(D)y=f−1(x),x∈f(D)。

结论：

若fff的定义在D上的单调函数，则f:D→f(D)f:D\rightarrow f(D)f:D→f(D)是单射，fff的反函数f−1f^-1f−1必定存在且也是f(D)f(D)f(D)上的单调函数，且单调性一致。
函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)和它的反函数y=f−1(x)y=f^-1(x)y=f−1(x)关于直线y=xy=xy=x对称。

3.2、复合函数

复合函数是复合映射的一种特例，按照通常函数的记号，复合函数的概念可如下表述。

设函数y=f(u)y=f(u)y=f(u)的定义域为DfD_fDf，函数u=g(x)u=g(x)u=g(x)的定义域为DgD_gDg，且其值域Rg⊂DfR_g\sub D_fRg⊂Df，则由下式确定的函数
y=f[g(x)]，x∈Dgy=f[g(x)]，x\in D_g y=f[g(x)]，x∈Dg
称为由函数u=g(x)u=g(x)u=g(x)与函数y=f(u)y=f(u)y=f(u)构成的复合函数，它的定义域为DgD_gDg,变量uuu称为中间变量。

函数ggg与函数fff构成的复合函数，即按“先g后f”的次序复合的函数，通常记为f∘gf\circ gf∘g，即
(f∘g)(x)=f[g(x)](f\circ g)(x) = f[g(x)] (f∘g)(x)=f[g(x)]

g与f构成复合函数f∘gf\circ gf∘g的条件：函数g的值域RgR_gRg必须包含在函数f的定义域DfD_fDf内，即Rg⊂DfR_g\sub D_fRg⊂Df

4、函数的运算

设函数f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)的定义域依次为D1,D2,D=D1∩D2≠∅D_1,D_2,D=D_1\cap D_2\ne \emptysetD1,D2,D=D1∩D2=∅，则我们可以定义这两个函数的下列运算：

和（差）f+−gf+-gf+−g：(f+−g)(x)=f(x)+−g(x),x∈D(f+-g)(x)=f(x)+-g(x),x\in D(f+−g)(x)=f(x)+−g(x),x∈D
积f∗gf*gf∗g：(f∗g)(x)=f(x)∗g(x),x∈D(f*g)(x)=f(x)*g(x),x\in D(f∗g)(x)=f(x)∗g(x),x∈D
商fg\frac fggf：(fg)(x)=f(x)g(x),x∈Dx∣g(x)=0,x∈D(\frac fg)(x)=\frac {f(x)}{g(x)},x\in D\ {x\vert g(x)=0,x\in D}(gf)(x)=g(x)f(x),x∈D x∣g(x)=0,x∈D

设函数f(x)f(x)f(x)的定义域为(−l,l)(-l,l)(−l,l)，则比存在(−l,l)(-l,l)(−l,l)上的偶函数g(x)g(x)g(x)及奇函数h(x)h(x)h(x)，使得
f(x)=g(x)+h(x)f(x)=g(x)+h(x) f(x)=g(x)+h(x)

5、初等函数

初等数学中几类函数：

幂函数:y=xn(n∈R是常数)y=x^n(n\in R 是常数)y=xn(n∈R是常数)
指数函数：y=xa(a>0且a≠1)y=x^a(a\gt 0且a\ne 1)y=xa(a>0且a=1)
对数函数：y=logax(a>0且a≠1,特别当a=e时，记为y=lnx)y=log_ax(a\gt 0 且a\ne 1,特别当a=e时，记为y=lnx)y=logax(a>0且a=1,特别当a=e时，记为y=lnx)
三角函数：如y=sinx,y=cosx,y=tanxy=sinx,y=cosx,y=tanxy=sinx,y=cosx,y=tanx等
反三角函数：如y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanxy=arcsinx,y=arccosx,y=arctanxy=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx

以上5类函数称为基本初等函数。

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。例如
y=1−x2,y=sin2x,y=cotx2y=\sqrt{1-x^2}, y=sin^2x, y=\sqrt{cot\frac x2} y=1−x2,y=sin2x,y=cot2x

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