Day7--复数和复变函数之复数运算基础

MATLAB是一个很强大的软件，在自动控制领域也是使用非常广泛，本系列博文将基于控制系统仿真进行，参考书籍《MATLAB/Simulink与控制系统仿真》，该系列博文与笔者的自动控制理论(考研篇)互为补充，详细理论知识点请各位移步自动控制理论(考研篇)系列博客。

7.复数和复变函数之复数运算基础

7.1 复数的一般表示

MATLAB用i或j代表虚部复数运算；
一个复数可表示为：x=a+bix=a+bix=a+bi，其中：aaa称为实部，bbb称为虚部；
一个复数的复指数形式：x=reiθx=re^{i\theta}x=reiθ，其中：rrr称为复数的模，记为：∣x∣|x|∣x∣，θ\thetaθ称为复数的幅角，记为：arctan⁡(x)\arctan(x)arctan(x)，满足的关系：r=a2+b2，tan⁡θ=bar=\sqrt{a^2+b^2}，\tan\theta=\frac{b}{a}r=a2+b2，tanθ=ab
x=a+bix=a+bix=a+bi形式适合处理复数的代数运算；x=reiθx=re^{i\theta}x=reiθ适合处理复数旋转等涉及幅角改变的问题；
构造复数的方法：
1. 直接法构造复数，直接利用符号i或j表示复数；
2. 用符号函数法构造复数，将复数看成函数形式，实部、虚部看成自变量，使用syms构造，用subs对符号函数中自变量进行赋值；

实战1：使用直接法和符号函数法构造复数x=−1+ix=-1+ix=−1+i。

% 实战环境：MATLAB 2020b
% Tips：以下均在MATLAB中验证>> x1=-1+i;                              % 直接法，实部、虚部形式
>> x2=sqrt(2)*exp(i*(3*pi/4));           % 直接法，复指数形式
>> syms a b real;                     % 声明a,b为实数型
>> x3=a+b*i;                            % 实部、虚部形式复数符号表达
>> x3=subs(x3,{a,b},{-1,1});
>> syms r ct real;
>> x4=r*exp(ct*i);                       % 复指数形式复数的符号表达
>> x4=subs(x4,{r,ct},{sqrt(2),3*pi/4});
>> x1,x2,x3,x4
x1 =-1.0000 + 1.0000ix2 =-1.0000 + 1.0000i x3 =
- 1 + 1ix4 =
- 1 + 1i

7.2 复数矩阵的表示

实战2：由复数元素构造复数矩阵，构造复数矩阵[1+i1+2i1+3i1−i1−2i1−3i]\begin{bmatrix} 1+i & 1+2i & 1+3i \\ 1-i & 1-2i & 1-3i \\ \end{bmatrix}[1+i1−i1+2i1−2i1+3i1−3i]。

% 实战环境：MATLAB 2020b
% Tips：以下均由MATLAB验证>> A1=[1+i,1+2i,1+3i;1-i,1-2i,1-3i];
>> A2=[sqrt(2)*exp((pi/4)*i) 1+2i 1+3i;sqrt(2)*exp((-pi/4)*i) 1-2i 1-3i];
>> A3re=[1 1 1;1 1 1];A3im=[1 2 3;-1 -2 -3];A3=A3re+A3im*i;
>> A1,A2,A3A1 =1.0000 + 1.0000i   1.0000 + 2.0000i   1.0000 + 3.0000i1.0000 - 1.0000i   1.0000 - 2.0000i   1.0000 - 3.0000iA2 =1.0000 + 1.0000i   1.0000 + 2.0000i   1.0000 + 3.0000i1.0000 - 1.0000i   1.0000 - 2.0000i   1.0000 - 3.0000iA3 =1.0000 + 1.0000i   1.0000 + 2.0000i   1.0000 + 3.0000i1.0000 - 1.0000i   1.0000 - 2.0000i   1.0000 - 3.0000i

7.3 复数绘图

复数函数绘图的两种形式：

直角坐标图，分别以复数的实部和虚部为坐标画出复数的表示图；
极坐标图，分别以复数的模和幅角为坐标画图；
绘制极坐标图的函数polar，格式：polar(theta,rho)，其中：theta为极坐标极角，rho为极坐标矢径；

实战3：画出函数y=itsin⁡(t)y=it\sin(t)y=itsin(t)在两种坐标下的表示图。

% 实战环境：MATLAB 2020b
% Tips：以下由MATLAB验证>> t=0:0.01:2*pi;y=t+i*t.*sin(t);     % 直角坐标表示
>> r=abs(y);delta=angle(y);             % 极坐标表示
>> subplot(2,1,1)
>> plot(y)
>> title('直角坐标图');
>> subplot(2,1,2)
>> polar(delta,r)
>> title('极坐标图')

7.4 复数的结构操作函数

函数名	功能
real(A)	求复数或复数矩阵A的实部
imag(A)	求复数或复数矩阵A的虚部
conj(A)	求复数或复数矩阵A的共轭
abs(A)	求复数或复数矩阵A的模值
angle(A)	求复数或复数矩阵A的相角，单位：弧度

实战4：求复数x=3+4ix=3+4ix=3+4i的各个结构性质。

% 实战环境：MATLAB 2020b
% Tips：以下由MATLAB验证>> x=3+4i;
>> real_x=real(x);
>> im_x=imag(x);
>> conj_x=conj(x);
>> abs_x=abs(x);
>> angle_x=angle(x);
>> real_x,im_x,conj_x,abs_x,angle_x
real_x =3
im_x =4
conj_x =3.0000 - 4.0000i
abs_x =5
angle_x =0.9273

7.5 留数及其基本运算

留数定义：设aaa是f(z)f(z)f(z)的孤立奇点，CCC是aaa的充分小的邻域内一条把aaa点包含在其内部的闭路，积分12π∫Cf(z)dz\frac{1}{2\pi}\int{Cf(z)}dz2π1∫Cf(z)dz称为f(z)f(z)f(z)在aaa点的留数，记为：Res[f(z),a]Res[f(z),a]Res[f(z),a]；
留数定理：如果函数f(z)f(z)f(z)在闭路CCC上解析，在CCC的内部除去nnn个孤立奇点a1,a2,...,ana_1,a_2,...,a_na1,a2,...,an外也解析，则闭路上的积分满足：∫Cf(z)dz=2πi∑k=1nRes[f(z),ak]\int{Cf(z)}dz=2\pi{i}\sum_{k=1}^nRes[f(z),a_k]∫Cf(z)dz=2πik=1∑nRes[f(z),ak]
由罗朗展开，若aaa是f(z)f(z)f(z)的mmm重极点，则函数在该点的留数可以表示为：Res[f(z),a]=1(m−1)!lim⁡z→adm−1dzm−1[(z−a)mf(z)]Res[f(z),a]=\frac{1}{(m-1)!}\displaystyle \lim_{z \to a}{\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}}[(z-a)^mf(z)]Res[f(z),a]=(m−1)!1z→alimdzm−1dm−1[(z−a)mf(z)]
工程中的f(z)f(z)f(z)多为有理分式，可以表示为如下形式：f(z)=anzn+an−1zn−1+...+a1z+a0bmzm+bm−1zm−1+...+b1z+b0f(z)=\frac{a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_1z+a_0}{b_mz^m+b_{m-1}z^{m-1}+...+b_1z+b_0}f(z)=bmzm+bm−1zm−1+...+b1z+b0anzn+an−1zn−1+...+a1z+a0
使用函数residue求得上有理式留数，residue返回参数：留数向量、极点向量、高阶项；
调用格式：[r,p,k] = residue([ana_nan an−1a_{n-1}an−1 … a0a_0a0],[bnb_nbn bn−1b_{n-1}bn−1 … b0b_0b0])

注：留数仅作简单介绍，深入学习需要查阅专业的书籍。

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