3.1 空间曲线 (2)

(2) 设空间曲线的一般方程为
它是两张曲面的交线。
对于这种情况，可将交线的参数方程找到，再用前面的方法作出曲线的图形。

例 3.1.5 作出以下曲线的图形:
解这是椭圆柱面和旋转抛物面的交线。两曲面的参数方程是：
输入以下命令：

with(plots):
a:=1.2: b:=1:
qumian1:=plot3d([a* cos(t), b* sin(t),z], z=0…2, t=0…2* Pi, color=yellow):
qumian2:=plot3d([u* cos(t), u* sin(t), 2-u^2], u=-2…2, t=0…2*Pi, color=green):
display(qumian1, qumian2, scaling=constrained, orientation=[40,60], axes=frame);

输出图形（椭圆柱面与旋转抛物面相交的图形）：

交线的参数方程为：

输入以下命令：

with(plots):
a:=1.2: b:=1:
qumian1:=plot3d([a* cos(t),b* sin(t),z], z=0…2, t=0…2* Pi, color=yellow):
qumian2:=plot3d([u* cos(t),u* sin(t),2-u^2], u=-2…2,t=0…2* Pi,color=green):
x:=t->a* cos(t): y:=t->b* sin(t): z:=(x,y)->2-x^ 2-y^2:
quxian:=spacecurve([x(t),y(t),z(x(t), y(t))],t=0…2*Pi,thickness=4,color=red):
display(qumian1, qumian2, quxian, scaling=constrained,
orientation=[40,60],axes=frame);

输出图形：

例 3.1.6 作出以下曲线的图形:
这是两张椭圆抛物面的交线。
两曲面的参数方程是：
输入以下命令：

with(plots):
qumian1:=plot3d([u* cos(t)/sqrt(2), u* sin(t)/sqrt(3), u^2],
u=0…2, t=0…2* Pi, color=yellow):
qumian2:=plot3d([u* cos(t)/sqrt(2), u* sin(t), 4-u^2],
u=0…2,t=0…2*Pi,color=green):
display(qumian1,qumian2,scaling=constrained,orientation=[40,60]);

输出图形（两张椭圆抛物面相交的图形）：

由
得交线的参数方程：

输入以下命令：

with(plots):
z1:=(x,y)->2* x^ 2+3* y^ 2 : z2:=(x,y)->4-2* x^ 2-y^2:
qumian1:=plot3d([u* cos(t)/sqrt(2),u* sin(t)/sqrt(3),u^2],
u=0…2,t=0…2* Pi,color=yellow):
qumian2:=plot3d([u* cos(t)/sqrt(2),u* sin(t),4-u^2],
u=0…2,t=0…2* Pi,color=green):
quxian:=spacecurve([cos(t),sin(t),z1(cos(t),sin(t))],
t=0…2*Pi,thickness=5,color=red):
display(qumian1,qumian2,quxian,scaling=constrained,orientation=[40,60]);

输出图形：

例 3.1.7 作出以下曲线的图形:
解这是两个直交的圆柱面的交线。
先写出曲面的参数方程：

输入以下命令：

with(plots): R:=1:
zhumian1:=plot3d([R* cos(t),R* sin(t),z],z=-R…R,t=0…2* Pi,color=yellow):
zhumian2:=plot3d([R* cos(t),y,R* sin(t)],y=-R…R,t=0…2*Pi,color=green):
display(zhumian1,zhumian2,scaling=constrained,orientation=[40,65]);

输出图形（两个直交的圆柱面相交的图形）：

由

得交线的参数方程：

输入以下命令：

with(plots):R:=1:
zhumian1:=plot3d([R* cos(t),R* sin(t),z],z=-R…R,t=0…2* Pi,color=yellow):
zhumian2:=plot3d([R* cos(t),y,R* sin(t)],y=-R…R,t=0…2* Pi,color=green):
quxian1:=spacecurve([R* cos(t),R* sin(t),R* sin(t)],t=0…2* Pi,
color=red,thickness=4):
quxian2:=spacecurve([R* cos(t),R* sin(t),-R* sin(t)],t=0…2* Pi,
color=blue,thickness=4):
display(zhumian1,zhumian2,quxian1,quxian2,scaling=constrained,
orientation=[40,65]);

输出图形（两个直交圆柱面的交线）：

例 3.1.8 作出以下曲线的图形:
解这是球面和圆柱面的交线。
先写出曲面的参数方程：
输入以下命令：

with(plots): R:=1:
zhumian1:=plot3d([R* sin(u)* cos(v),R* sin(u)* sin(v),R* cos(u)],
u=0…Pi,v=0…2* Pi,color=yellow):
zhumian2:=plot3d([(R/2)* (1+cos(t)),(R/2)* sin(t),z],
z=-1.1…1.1,t=0…2*Pi,color=green):
display(zhumian1,zhumian2,scaling=constrained,orientation=[40,65],axes=frame);

输出图形（球面和圆柱面相交的图形）：

交线的参数方程：

输入以下命令：

with(plots): R:=1:
zhumian1:=plot3d([R* sin(u)* cos(v),R* sin(u)* sin(v),R* cos(u)]
,u=0…Pi,v=0…2* Pi,color=yellow):
zhumian2:=plot3d([(R/2)* (1+cos(t)),(R/2)* sin(t),z],
z=-1.1…1.1,t=0…2* Pi,color=green):
z:=(x,y)->sqrt(R^ 2-x^ 2-y^2): x:=t->(R/2)* (1+cos(t)): y:=t->(R/2)* sin(t):
quxian1:=spacecurve([(R/2)* (1+cos(t)),(R/2)* sin(t),z(x(t),y(t))],
t=0…2* Pi,thickness=5,color=red):
quxian2:=spacecurve([(R/2)* (1+cos(t)),(R/2)* sin(t),-z(x(t),y(t))],
t=0…2* Pi,thickness=5,color=red):
display(zhumian1,zhumian2,quxian1,quxian2,
scaling=constrained,orientation=[40,65],axes=frame);

输出图形（球面和圆柱面的交线）：
这个交线叫做维维安尼曲线。

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