The King's Ups and Downs UVALive

看大佬的题解学到的

题目意思就是给你一个N，代表有n个人身高分别从1到n，求出共有多少种排法使得身高是高低交错的。

f[i][0]代表长度为i的，最后结尾为高低排法的种数

f[i][1]代表长度为i的，最后结尾为低高排法的种数

ans[i]代表长度为i的，总的排法因此f[i][0]+f[i][1]=ans[i]

当我们求ans[i]时，即插入身高为i的人时，新插入的身高是最高的，因此i前面的必须满足最后身高为高低，i后为低高。

因此我们可以得出：

ans[i]=f[j][0]*f[i-j-1][1]*C(i-1,j)

得出ans[i]之后我们可以得出f[i][0]与f[i][1]

证明f[i][0]=f[i][1]

1：当i为偶数时

f[i][0]其中一种排法为1010，则全部反过来，则变为0101，即f[i][0]中的每一种方案都能在f[i][1]中找到一种方案使得对应起来

2：当i为奇数是

f[i][0]一种排法为01010

例如13254，如果第一个数小于最后一个数，1<4，我们可以将4移到最前面，即41325，变为了10101

例如45231，第一个数大于最后一个数，4>1，我们将4移到后面，即52314，变为了10101

所以f[i][0]中的每一种方案都能在f[i][1]中找到一种方案使得对应起来

则f[i][0]=f[i][1]

之前我们得到

f[i][0]+f[i][1]=ans[i]

所以f[i][0]=f[i][1]=ans[i]/2;

具体见代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long A[25];
long long C[25][25];
long long f[25][2];
long long ans[25];
void init()
{A[0]=1;for(int i=1;i<=20;i++)A[i]=A[i-1]*i;C[0][0]=1;for(int i=1;i<=20;i++){C[i][0]=1;for(int j=1;j<=i;j++){C[i][j]=A[i]/A[i-j]/A[j];}}
}
int main()
{int t;init();scanf("%d",&t);f[0][0]=f[0][1]=1;ans[1]=1; f[1][0]=f[1][1]=1;ans[2]=2; f[2][0]=f[2][1]=1;for(int i=3;i<=20;i++){for(int j=0;j<=i;j++)ans[i]+=f[j][0]*f[i-j-1][1]*C[i-1][j];f[i][0]=f[i][1]=ans[i]/2;}while(t--){int a,n;scanf("%d%d",&a,&n);printf("%d %lld\n",a,ans[n]);}return 0;
}

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