二阶常系数非齐次线性微分方程的特征方程的选取技巧

二阶常系数非齐次线性微分方程
y ′ ′ + p y ′ + q y = P m ( x ) e λ x y^{''}+py^{'}+qy=P_m(x)e^{\lambda x} y′′+py′+qy=Pm(x)eλx
有形如
y ∗ = x k Q m ( x ) e λ x y*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x} y∗=xkQm(x)eλx
的特解,其中 Q m ( x ) Qm(x) Qm(x)是与 P m ( x ) Pm(x) Pm(x)同次的多项式, 而k按 λ \lambda λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.

一、 f ( x ) = P m ( x ) e λ x 型一、f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}型一、f(x)=Pm(x)eλx型

以图中为例：对特征方程进行求解，解的 r 1 = 2 , r 2 = 3 r_1=2,r_2=3 r1=2,r2=3
P m ( x ) = x P_m(x)=x Pm(x)=x是一次函数,故设特征方程中 Q m ( x ) = b 0 x + b 1 Qm(x)=b_0x+b_1 Qm(x)=b0x+b1
λ = 2 \lambda=2 λ=2是特征方程的单根，所以 k = 1 k=1 k=1
综上可得特征方程的特解 y ∗ = x 1 ( b 0 x + b 1 ) e 2 x y*=x^1(b_0x+b_1)e^{2x} y∗=x1(b0x+b1)e2x

再加一道例题帮助理解

二、 f ( x ) = e λ x [ P l ( x ) c o s ω x + Q n ( x ) s i n ω x ] 型二、f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)cos\,\omega x+Q_n(x)sin\,\omega x]型二、f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Qn(x)sinωx]型

特解可设为 : y ∗ = x k e λ x [ R m ( 1 ) ( x ) c o s ω x + R m ( 2 ) ( x ) s i n ω x ] 特解可设为:\\y^{*}=x^ke^{\lambda x}[R^{(1)}_{m}(x)cos\,\omega x+R^{(2)}_{m}(x)sin\,\omega x] 特解可设为:y∗=xkeλx[Rm(1)(x)cosωx+Rm(2)(x)sinωx]

R m ( 1 ) ( x ) R^{(1)}_{m}(x) Rm(1)(x)和 R m ( 2 ) ( x ) R^{(2)}_{m}(x) Rm(2)(x)是m次多项式, m = m a x { l , n } m=max\{l,n\} m=max{l,n}
k k k按 λ + ω i ( 或 λ − ω i ) \lambda+\omega i(或\lambda-\omega i) λ+ωi(或λ−ωi)不是特征方程的根、是特征方程的单根依次取0或1.

二阶常系数非齐次线性微分方程的特征方程的选取技巧相关推荐

二阶常系数非齐次线性微分方程的通解
*本文略去了很多证明,只记录结论 *文中的微分方程均指代二阶常系数非线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的形式为:ay′′+by′+cy=f(x)ay'' + by' + cy = f(x)ay ...
二阶常系数非齐次线性微分方程的解
整理自张宇30讲前置:解的结构对于二阶常系数线性微分方程 y ′ ′ + p y ′ + q y = f ( x ) y''+py'+qy=f(x) y′′+py′+qy=f(x) 若 f ( x ...
【原创】二阶常系数非齐次线性微分方程求特解
二阶常系数非齐次线性微分方程求特解 (一)求特解时的题目问法 (1)求微方满足已给初值条件的特解 (2)设函数y=y(x)满足微方***,y(x1)=a,y(x2)=b,求y(x) [相当于确定一个函 ...
二阶常系数非齐次线性微分方程待定系数法求特解
待定系数法仅当f(x)及其所有导数可写成由有限个线性无关函数构成的集合(记为{y1(x),y2(x),..,yn(x)}的形式)时适用,此方法假定特解有如下形式: yp(x) = A1y1(x) + ...
二阶常系数非齐次线性微分方程特解的设定规则
常系数非齐次线性微分方程（两种常见形式）
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是 y′′+py′+qy=f(x)(1)y''+py'+qy=f(x) \tag{1} y′′+py′+qy=f(x)(1) 其中p,q是常数. 一般而言,二阶常 ...
待定系数法求二阶常系数非齐次线性方程特解
前往我的主页以获得更好的阅读体验待定系数法求二阶常系数非齐次线性方程特解 - DearXuan的主页https://blog.dearxuan.com/2022/06/04/%E5%BE%85%E5 ...
常系数非齐次线性微分方程
一.常系数非齐次线性微分方程非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解齐次通解在上节已经讨论完本节主要介绍求非齐次的特解待定系数法 f(x) = eλxPm(x) f(x) = eλx[Pl(x ...
分段函数或含绝对值符号型自由项非齐次线性微分方程求解思路
分段函数或含绝对值符号型自由项非齐次线性微分方程求解思路 @(微积分) 总体思路是:分段分别求解,再根据连续性确定待定系数. 比如:求解微分方程y″+4y=3|sinx|在[−π,π]y''+4y = ...

二阶常系数非齐次线性微分方程的特征方程的选取技巧

二阶常系数非齐次线性微分方程的特征方程的选取技巧相关推荐

最新文章

热门文章