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ARCTAN

Description

相信大家都看得懂英文吧，我就不翻译了吧…………

It is easy to know that

arctan(1/2)+arctan(1/3)=arctan(1)

arctan(1/2)+arctan(1/3)=arctan(1)
Given number A A, write a program to calculate the minimum sum B+CB+C.
A A，BB and C C are all positive integers and satisfy the equation below:

arctan(1/A)=arctan(1/B)+arctan(1/C)

Input

The first line contains a integer number T T(about 10001000).
T T lines follow,each contains a single integer AA， 1≤A≤60000 1\leq A\leq 60000.

Output

T T lines，each contains a single integer which denotes to the minimum sum B+CB+C.

Sample Input

1

Sample Output

5

Solution

解法一：附上扫雷神犇Cai的坑爹解法。
解法二：
由

tan(α+β)=1A,tanβ=1B,tanα=1C

tan(α+β)=\frac{1}{A},tanβ=\frac{1}{B},tanα=\frac{1}{C}
得

A=BC−1B+C

A=\frac{BC-1}{B+C}
设 B+C=k B+C=k，则

BC=Ak+1

BC=Ak+1，
则 B、C B、C 为一元二次方程

x2−kx+Ak+1=0

x^2-kx+Ak+1=0的两个根。
那么

k2−4Ak−4

k^2-4Ak-4 为完全平方数。
设 k2−4Ak−4=s2 k^2-4Ak-4=s^2，

k=4A+16A2+16+4s2−−−−−−−−−−−−−√2=2A+4A2+s2+4−−−−−−−−−−−√

\begin{align*} k&=\frac{4A+\sqrt{16A^2+16+4s^2}}{2}\\ &=2A+\sqrt{4A^2+s^2+4} \end{align*}
则 4A2+s2+4−−−−−−−−−−−√ \sqrt{4A^2+s^2+4} 为完全平方数。
设 4A2+s2+4=r2 4A^2+s^2+4=r^2，则 4A2+4=(r+s)(r−s) 4A^2+4=(r+s)(r-s)
枚举 4A2+4 4A^2+4 的约数即可。

Code

因为有代码长度限制，所以读者在复制代码的时候请注意删除缩进以及空格…………

#include<iostream>
#include<cmath>typedef unsigned long long L;
using namespace std;L t,i,T,a,b,k;main(){cin>>t;while(t--){cin>>a;T=a*a*4+4;b=sqrt(T);i=b+1;while(--i)if(!(T%i)&&!((i+T/i)&1)){k=(T/i-i)/2;break;}cout<<2*a+L(sqrt(T+k*k)+0.5)<<endl;}return 0;
}

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