1、引言

贝塞尔(bezier)曲线又称样条曲线，常用的有2阶跟3阶形式，3阶曲线最为常用，其公式（1）为：

P0/P1/P2/P3为其四个控制点，贝塞尔曲线基础知识站内有相当详细地讲解博文。沿t进行等分，做出的曲线如下图蓝色点所示：

生成的点在沿曲线线长方向上，并不是均匀的。本文意在解决这个问题，实现线长方向上均匀的效果，如下图所示：

2、数学计算

将（1）式展开，转换为关于t的方程得到（2）式：

则（2）式简化为（3）式：

将（3）式展开到X,Y方向则有：

根据第二类曲线线长积分公式（4）：

（4）式经过计算后可简化为：

其中：
从0积分到1,得到L，即为3阶贝塞尔曲线的长度。将L分为N段，每次从0开始积分到L/N长度为止得到一个点，该点即为沿线长方向上一个等距划分点。至此，该问题转换为一个求定积分计算。
f(t)的原函数F(t)一般而言是不容易求出的，故采用数值积分的方法，求数值解。
求解定积分比较快速的方法是龙贝格公式，配合二分法或者切线法可以求得等分点对应的t值，最终实现等分效果。

3、应用

1、可以让物体沿着样条线做匀速运动，也可以扩展到3维空间
2、结合Bresenham插值，可以应用到XY轴的运动系统当中，例如激光切割，打标机，写字机等等
3、做电机的加减速控制曲线，相比S曲线、指数曲线更加灵活
4、拟合图形、曲线等
有其他应用的地方，可以在下方评论！

4、demo下载

写了一个简单的demo,需要的可以自行下载，地址：
https://download.csdn.net/download/LuDanTongXue/18844969

微信/QQ:pph846375164

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