Jordan公式

先考虑最简单的一种情况：
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)P(A\cup B) = P(A)\,+ P(B)\, -P(AB) P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)
此时，只有A,B两个事件。

如果是A,B,C三个事件呢？
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC)P(A\cup B\cup C) = P(A)\,+ P(B)\,+P(C) -P(AB)- P(AC)-P(BC)+P(ABC) P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC)
可如果是四个事件甚至更多呢？

Jordan公式介绍

Jordan公式：设A1,A2,A3,...,AnA_{1},A_{2},A_{3},...,A_{n}A1,A2,A3,...,An是事件，记
pk=∑1⩽j1<j2<...<jk⩽nP(Aj1Aj2...Ajk)p_{k} = \sum_{1\leqslant j_{1}< j_{2}<...<j_{k}\leqslant n}P(A_{j_{1}}A_{j_{2}}...A_{j_{k}}) pk=1⩽j1<j2<...<jk⩽n∑P(Aj1Aj2...Ajk)
此时有
P(⋃i=1nAi)=∑k=1n(−1)k−1pkP(\bigcup_{i = 1}^{n}A_{i})=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}p_{k} P(i=1⋃nAi)=k=1∑n(−1)k−1pk

Jordan公式推导

用数学归纳法推导。
由前文介绍可知，Jordan公式对n=1,n=2,n=3时均成立，假设在n-1时也成立并希望以此证明公式对n亦成立。

当k=n−1k=n-1k=n−1时，有P(⋃i=1n−1Ai)=∑k=1n−1(−1)k−1pk′P(\bigcup_{i = 1}^{n-1}A_{i})=\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}{p}'_{k} P(i=1⋃n−1Ai)=k=1∑n−1(−1)k−1pk′
其中，pk′=∑1⩽j1<j2<...<jk⩽n−1P(Aj1Aj2...Ajk),1⩽k⩽n−1{p}'_{k}=\sum_{1\leqslant j_{1}< j_{2}<...<j_{k}\leqslant n-1}P(A_{j_{1}}A_{j_{2}}...A_{j_{k}}),\quad1\leqslant k\leqslant n-1pk′=1⩽j1<j2<...<jk⩽n−1∑P(Aj1Aj2...Ajk),1⩽k⩽n−1
只需证：P(⋃i=1nAi)=∑k=1n(−1)k−1pkP(\bigcup_{i = 1}^{n}A_{i})=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}p_{k} P(i=1⋃nAi)=k=1∑n(−1)k−1pk
而
P(⋃i=1nAi)=P(⋃i=1n−1Ai∪An)=P(⋃i=1n−1Ai)+P(An)−P(⋃i=1n−1AiAn)P(\bigcup_{i = 1}^{n}A_{i})=P(\bigcup_{i = 1}^{n-1}A_{i}\cup A_{n})=P(\bigcup_{i = 1}^{n-1}A_{i})+P(A_{n})-P(\bigcup_{i = 1}^{n-1}A_{i}A_{n}) P(i=1⋃nAi)=P(i=1⋃n−1Ai∪An)=P(i=1⋃n−1Ai)+P(An)−P(i=1⋃n−1AiAn)
此处的⋃i=1n−1AiAn\bigcup_{i = 1}^{n-1}A_{i}A_{n}⋃i=1n−1AiAn值得我们好好研究一下。
因为我们假设公式在n-1时是成立的，那么此处⋃i=1n−1AiAn\bigcup_{i = 1}^{n-1}A_{i}A_{n}⋃i=1n−1AiAn也不例外,它也应该有P(⋃i=1n−1AiAn)=∑k=1n−1(−1)k−1qk′P(\bigcup_{i = 1}^{n-1}A_{i}A_{n})=\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}{q}'_{k} P(i=1⋃n−1AiAn)=k=1∑n−1(−1)k−1qk′
其中，qk′=∑1⩽j1<j2<...<jk⩽n−1P(Aj1Aj2...AjkAn),1⩽k⩽n−1{q}'_{k}=\sum_{1\leqslant j_{1}< j_{2}<...<j_{k}\leqslant n-1}P(A_{j_{1}}A_{j_{2}}...A_{j_{k}}A_{n}),\quad1\leqslant k\leqslant n-1 qk′=1⩽j1<j2<...<jk⩽n−1∑P(Aj1Aj2...AjkAn),1⩽k⩽n−1
q0′=P(An)\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad\quad\,\, {q}'_{0}=P(A_{n})q0′=P(An)

可以发现qn−1′{q}'_{n-1}qn−1′与pnp_{n}pn是等价的，它们都可以写成P(A1A2...An)P(A_{1}A_{2}...A_{n})P(A1A2...An)

所以qn−1′=pn\quad{q}'_{n-1}=p_{n}qn−1′=pn

而
∑1⩽j1<j2<...<jk⩽n−1P(Aj1Aj2...AjkAn)+∑1⩽j1<j2<...<jk⩽n−1P(Aj1Aj2...Ajk)\sum_{1\leqslant j_{1}< j_{2}<...<j_{k}\leqslant n-1}P(A_{j_{1}}A_{j_{2}}...A_{j_{k}}A_{n})+\sum_{1\leqslant j_{1}< j_{2}<...<j_{k}\leqslant n-1}P(A_{j_{1}}A_{j_{2}}...A_{j_{k}})1⩽j1<j2<...<jk⩽n−1∑P(Aj1Aj2...AjkAn)+1⩽j1<j2<...<jk⩽n−1∑P(Aj1Aj2...Ajk)
=∑1⩽j1<j2<...<jk⩽nP(Aj1Aj2...Ajk),1⩽k⩽n−1=\sum_{1\leqslant j_{1}< j_{2}<...<j_{k}\leqslant n}P(A_{j_{1}}A_{j_{2}}...A_{j_{k}}) , \quad1\leqslant k\leqslant n-1 =1⩽j1<j2<...<jk⩽n∑P(Aj1Aj2...Ajk),1⩽k⩽n−1
即pk=qk−1′+pk′,1⩽k⩽n−1\quad p_{k}={q}'_{k-1}+{p}'_{k},1\leqslant k\leqslant n-1pk=qk−1′+pk′,1⩽k⩽n−1

现在回到原式：
P(⋃i=1nAi)=P(⋃i=1n−1Ai∪An)=P(⋃i=1n−1Ai)+P(An)−P(⋃i=1n−1AiAn)P(\bigcup_{i = 1}^{n}A_{i})=P(\bigcup_{i = 1}^{n-1}A_{i}\cup A_{n})=P(\bigcup_{i = 1}^{n-1}A_{i})+P(A_{n})-P(\bigcup_{i = 1}^{n-1}A_{i}A_{n}) P(i=1⋃nAi)=P(i=1⋃n−1Ai∪An)=P(i=1⋃n−1Ai)+P(An)−P(i=1⋃n−1AiAn)
采用上面的记号就可以写成：
P(⋃i=1nAi)=P(⋃i=1n−1Ai∪An)=P(⋃i=1n−1Ai)+P(An)−P(⋃i=1n−1AiAn)P(\bigcup_{i = 1}^{n}A_{i})=P(\bigcup_{i = 1}^{n-1}A_{i}\cup A_{n})=P(\bigcup_{i = 1}^{n-1}A_{i})+P(A_{n})-P(\bigcup_{i = 1}^{n-1}A_{i}A_{n})P(i=1⋃nAi)=P(i=1⋃n−1Ai∪An)=P(i=1⋃n−1Ai)+P(An)−P(i=1⋃n−1AiAn)

=∑k=1n−1(−1)k−1pk′+q0′−∑k=1n−1(−1)k−1qk′=\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}{p}'_{k}+{q}'_{0}-\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}{q}'_{k}=k=1∑n−1(−1)k−1pk′+q0′−k=1∑n−1(−1)k−1qk′
=∑k=1n−1(−1)k−1pk′+q0′+∑k=1n−2(−1)kqk′+(−1)n−1qn−1′\qquad\qquad\qquad=\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}{p}'_{k}+{q}'_{0}+\sum_{k=1}^{n-2}(-1)^{k}{q}'_{k}+(-1)^{n-1}{q}'_{n-1}=k=1∑n−1(−1)k−1pk′+q0′+k=1∑n−2(−1)kqk′+(−1)n−1qn−1′
=∑k=1n−1(−1)k−1(pk′+qk−1′)+(−1)n−1pn\quad=\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}({p}'_{k}+{q}'_{k-1})+(-1)^{n-1}{p}_{n} =k=1∑n−1(−1)k−1(pk′+qk−1′)+(−1)n−1pn
=∑k=1n(−1)k−1pk=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}p_{k}=k=1∑n(−1)k−1pk

这样就完成了推导

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