【实例简介】

含matlab程序，个人感觉很有帮助，在研究传热学的可以下来看看

能呈守恒定律:

因为内部无热源,净流入的热量应该等于介质在此时

间内温度升高所需要的热量。

cdmdu=dQ=[q(x, t)g(x+ dx, t)]dt

g(x, t)dxdt

∵ comdt= cpdd∴ perdu=-q,dxdt

cpm=-9,即cPm2=-9(2)

q(x, t) q(x+dx, t)

xxIx

X

:-k

COL

由(1)、(2)得cp2=-q2=ku

,其中

cp

介质内存在热源时

如果在介质内有热量产生(例如,有化学反应发生,

或者通有电流,…),单位时间内单位体积介质产生

的热量为F(x,t)

因为热传导的Foue定律没有变化,所以仍然有

q=-k

对于能量守恒定律,有

du

(x.tddt+ Fdxdt即

qx +F

.u,=a'u+--F=a'u+f(x,t)

实验原理

分离变量法实验原理

有界长杆的热传导问题

、考察齐次热传导方程的混合问题(边界条

件都是第一类的情形)

u(00)

a(0,t)=0,a(l,t)=0

(x0)=g(x)

其中q(x)为给定的已知函数

下面用分离变量法(或称驻波法)来求解定解问

题(17)。

首先令

(x,t)=X(x)r()

将其代入方程

并分离变量得两个常微分方程

r(t)+a7()=0

X"(x)+AX(x)=0,

由边界条件(0,)=0.u(,)=0.可得

X(O)=0.X()=0

求边值问题

X"(x)+AX(x)=0.X(0)=X()=0

的非0解。

(1)当<0时,该问题没有非平凡解

(2)当=0时,该问题也没有非平凡解

(3)当入>0时,该问题有非平凡解。

此时

n=12…

x (x)=B, sin

(n=123…)

现在考虑T()+ia2()=0.

将特征值

=Z=

n、2

n=1.2.…)

代入上方程得

T()+()2T()=0

其通解为

n=C.

1.2.…

于是可得定解问题(17)中的一维热传导方程且

且满足齐次边界条件的具有变量分离形式的特解

n(x,1)=∑ae

sIn

(18)

其中an=BCn:是任意常数。

再利用初值条件(x,0)=o(x),可得

∑a,=∞x

an=[o∞(x)sin"t,

(19)

(18)

o(x)sin -dx.

(19)

(18)(19)合在一起就是所求定解问题(17)的特解。

1=a2na(00)

a(02t)=0.a(,)=0,

(x,0)=(x)

7)

若问题中的边界条件出现第二类或第三类齐次边界

条件,解法类似

有限差分法

、有限差分法的特点

有限差分方法(FD)是计算机数值模拟最早采用的方法,

至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格,

用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以

Taylor级数展开等方法,把控制方程中的导数用网格

节点上的函数值的差商代替进行离散,从而建立以网

格节点上的值为未知数的代数方程组。

该方法是一种直接将微分可题变为代数可题的近似数

值解法,数学概念直观,表达简单,是发展较早且比

较成熟的数值方法。

有限差分法的缺点是必雩进行整个区域的剖分,并且

要求网格比较规则,空间网格最好为直角网格。

、热传导方程(抛物方程)

1.热传导方程的介绍

0,t)=a(Z,)=0

x10)=f(x)

2.离散光u=u(O,大k)=0a3y=a(L)=0

=(ih20)=f(ih)=f

1)向前差分格式

L1-2n;+

+1

k

h2

计算

=sl1+(1-25)x1+sa1s

h2

这是一个星式格式(四点格式

F+1

i+1

t =f

可以证明:当0

式是稳定的。所以x的步长h和的步长k取法要恰

当

(2)向后差分格式

+1

2u:'+u

j+1

k

sul+(1+29)1-u1=a

J+1

1+1

实验目的

利用分离变量法和有限差分法解热传导方程问题利

用 matlab进行建模构建图形研究不同的情况下采用

何种方法从更深层次上理解热量分布与时间、空间分

布关系

【实例截图】

【核心代码】