MATLAB生成M序列和Gold序列

M序列

最长线性移位寄存器序列又称为m序列，他是一种伪随机序列，在硬件电路中，m序列可以通过反馈移位寄存器产生，寄存器的反馈连接有生成m序列的本源多项式确定。
m序列的000映射成−1-1−1后，m序列的循环自相关函数（不归一化）在时间间隔为000处取最大值，其他时间间隔的循环自相关函数都是−1-1−1。本源多项式x6+x4+x3+x+1x^6+x^4+x^3+x+1x6+x4+x3+x+1产生的m序列的循环自相关函数如下图所示。

MATLAB生成M序列和计算循环自相关函数

function p=PnCode(polynomial,reg)
%  PN码产生器函数
%  polynomial为本原多项式，从左到右依次为高位到低位，且最高位与最低位必须为1;低位表示延时一个周期，高位依次顺延，例如[1 0 0 1 0 1]
%  reg为置寄存器初始值,也相当于PN码的初始相位，左边为高位，如[1 0 0 1 0]表示延时５个周期的寄器和２个周期的寄存器初值为1
grade=length(polynomial)-1;%根据多项式计算延时级数
PN_Length=(2^grade-1);     %计算PN码一个周期的长度
n=0;
c=zeros(1,grade);
for i=grade:-1:1if polynomial(i)==1n=n+1;c(n)=grade+1-i;end
end
%产生一个周期的PN码
p = zeros(1,PN_Length);
for i=1:PN_Length%从最高延时的寄存器中输出PN码p(i)=reg(1);%完成各抽头寄存器取值的模2加m = mod(reg*polynomial(1:grade)',2);%寄存器的值依次移位reg(1:(grade-1)) = reg(2:grade);reg(grade)=m;
end

function [r,lags] = periodic_corr(x,y)
% returns the periodic cross-correlation or autocorrelation of two discrete-time sequences.
% Rxy(m) = sum(i) x(i)Y((i+m) mod L)
% x input array
% y input array
% r periodic cross-correlation or autocorrelation
% lags Lag indices
if size(x,2) == 1 && ~isscalar(x)x = x';
end
if size(y,2) == 1 && ~isscalar(y)y = y';
end
if size(x,2)~=size(y,2)error(message('x y dimension mismatch'));
end
L = size(x,2);
r = zeros(1,2*L-1);
for m = 1:Lif m == 1r(L) = x*y'/L;elser(L+m-1) = x*y'/L;r(m-1) = x*y'/L;endy = circshift(y,-1);
end
lags = -(L-1):L-1;
end

M序列优选对

对于由两个nnn阶本源多项式生成的m序列aaa和bbb，如果它们的互相关函数的绝对值的最大值满足公式(1)(1)(1)所示的关系，则m序列aaa和bbb构成优选对。∣Ra,b(τ)∣max={2n+12+1,n为奇数2n+22+1,n为偶数且不是4的倍数(1)\lvert R_{a,b}(\tau) \rvert_{max}=\begin{cases} 2^{\frac{n+1}{2}}+1,\quad n为奇数\\ 2^{\frac{n+2}{2}}+1, \quad n为偶数且不是4的倍数 \end{cases} \tag{1}∣Ra,b(τ)∣max={22n+1+1,n为奇数22n+2+1,n为偶数且不是4的倍数(1)
m序列优选对具有三值互相关特性，即它们的循环互相关函数只能取三个值。nnn为奇数时，互相关函数取−1-1−1、−(2n+12+1)-(2^{\frac{n+1}{2}}+1)−(22n+1+1)和2n+12−12^{\frac{n+1}{2}}-122n+1−1；nnn为偶数且不是4的倍数时，互相关函数取−1-1−1、−(2n+22+1)-(2^{\frac{n+2}{2}}+1)−(22n+2+1)和2n+22−12^{\frac{n+2}{2}}-122n+2−1。
下面给出几组m序列优选对的本源多项式。

阶数	本源多项式 1	本源多项式 2
3	x3+x+1x^3+x+1x3+x+1	x3+x2+1x^3+x^2+1x3+x2+1
5	x5+x2+1x^5+x^2+1x5+x2+1	x5+x4+x2+x+1x^5+x^4+x^2+x+1x5+x4+x2+x+1
6	x6+x+1x^6+x+1x6+x+1	x6+x5+x2+x+1x^6+x^5+x^2+x+1x6+x5+x2+x+1
6	x6+x5+1x^6+x^5+1x6+x5+1	x6+x5+x4+x+1x^6+x^5+x^4+x+1x6+x5+x4+x+1

本原多项式x6+x+1x^6+x+1x6+x+1和x6+x5+x2+x+1x^6+x^5+x^2+x+1x6+x5+x2+x+1产生的m序列的互相关函数（不归一化）如下图所示，它们的三个互相关值分别为−1-1−1、−17-17−17和151515。

GOLD序列

Gold序列是由2个码长相等、码时钟速率相同的m序列优选对模二加和构成的，每改变2个m序列相对位移就可以得到一个新的Gold序列。
对于nnn阶本源多项式生成的m序列优选对，m序列的周期为2n−12^n-12n−1，m序列优选对可以有2n−12^n-12n−1种模2加组合，再加上原来的2个m序列，可以得到一族2n+12^n+12n+1个Gold序列。Gold序列的自相关特性不如m序列，但是同一族的Gold序列的互相关特性继承了m序列优选对的互相关特性，即三值互相关特性。由本原多项式x6+x+1x^6+x+1x6+x+1和x6+x5+x2+x+1x^6+x^5+x^2+x+1x6+x5+x2+x+1获得的m序列优选对生成65个Gold序列，随便抽两个Gold序列计算循环互相关函数，如下图所示。

平衡GOLD序列

如果Gold序列中111的数量比−1-1−1的数量多一个，那么该Gold序列称为平衡Gold序列。扩频时采用平衡Gold序列有许多优点，比如平衡码能更好地抑制载波。当nnn为奇数时，一族Gold序列中平衡序列和非平衡序列出现的概率各占50％；当nnn为偶数且不为4的倍数时，一族Gold序列中平衡序列出现的概率为75％，非平衡序列为25％。

MATLAB生成Gold序列和寻找平衡序列

MATLAB中可以用comm.GoldSequence函数生成Gold序列，具体用法可以参考help文档。找平衡序列的方法是暴力枚举。

function [g,balanced] = GoldCode(polynomial1,polynomial2)
% Generate Gold sequence
% polynomial1、polynomial2 primitive polynomial, lists the coefficients of
%                          the polynomial in descending order of powers.
%                          The first and last elements must equal 1, and
%                          the length of this vector requires a value of
%                          n+1, where n is the degree of the primitive polynomial.
%                          polynomial1 and polynomial2 generate a pair of m
%                          sequences which is a preferred pair
% g Gold sequences
% balanced index of balanged Gold sequence in gif length(polynomial1) ~= length(polynomial2)error(message('polynomial1 polynomial2 dimension mismatch'));
end
grade=length(polynomial1)-1;%根据多项式计算延时级数
gold_length=(2^grade-1);    %计算PN码一个周期的长度
g = zeros(gold_length+2,gold_length);
balanced = zeros(gold_length+2,1);
for n = -2:gold_length-1goldseq = comm.GoldSequence('FirstPolynomial',polynomial1,...'SecondPolynomial',polynomial2,...'FirstInitialConditions',[zeros(1,grade-1) 1],...'SecondInitialConditions',[zeros(1,grade-1) 1],...'Index',n,'SamplesPerFrame',gold_length);x = goldseq()';
%   g(n+3,:) = 2*x-1;g(n+3,:) = x;if length(find(x == 1)) == (gold_length+1)/2balanced(n+3) = 1;end
end
balanced = find(balanced == 1);
end

参考：Gold序列与m序列仿真应用
辛肖明, 陈琼. m序列优选对及平衡Gold码序列[J]. 北京理工大学学报, 1990, 10(4):106-113.