计算机算法基础总结（借鉴、整理）

作者：Jerry4me

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排序算法

算法	最优复杂度	最差复杂度	平均复杂度	稳定性
选择排序	O(n²)	O(n²)	O(n²)	不稳定
冒泡排序	O(n)	O(n²)	O(n²)	稳定
插入排序	O(n)	O(n²)	O(n²)	稳定
希尔排序	O(n)	O(n²)	O(n1.3)	不稳定
归并排序	O(nlog n)	O(nlog n)	O(nlog n)	稳定
快速排序	O(nlog n)	O(n²)	O(nlog n)	不稳定
堆排序	O(nlog n)	O(nlog n)	O(nlog n)	不稳定
基数排序	O(d(r+n))	O(d(n+rd))	O(d(r+n))	稳定

ps：基数排序的复杂度中, r代表关键字的基数， d代表位数， n代表关键字的个数. 也就是说，基数排序不受待排序列规模的影响。

算法复杂度 : 这里表中指的是算法的时间复杂度，一般由O(1), O(n), O(logn), O(nlogn), O(n²), ...， O(n!). 从左到右复杂度依次增大, 时间复杂度是指在多少时间内能够执行完这个算法，常数时间内呢, 还是平方时间还是指数时间等等。

还有个概念叫空间复杂度, 这就指的是执行这个算法需要多少额外的空间。 (源数组/链表所占的空间不算)

稳定性 : 算法的稳定性体现在执行算法之前，若a = b, a在b的前面，若算法执行完之后a依然在b的前面, 则这个算法是稳定的，否则这个算法不稳定

选择排序

原理：每次从无序区中找出最小的元素, 跟无序区的第一个元素交换

void selectSort(int array[], int count){for (int i = 0; i < count; i++) {// 最小元素的位置int index = i;// 找出最小的元素所在的位置for (int j = i + 1; j < count; j++) {if (array[j] < array[index]){index = j;}}// 交换元素int temp = array[index];array[index] = array[i];array[i] = temp;}
}

冒泡排序

原理：每次对比相邻两项的元素的大小，不符合顺序则交换

void bubblingSort(int array[], int count){for (int i = 0; i < count; i++) {// 交换相邻的元素for (int j = 1; j < count - i; j++) {if (array[j] < array[j-1]){// 交换元素int temp = array[j-1];array[j-1] = array[j];array[j] = temp;}}}
}

插入排序

原理：每次将一个待排序的记录，按其关键字大小插入到前面已经排好序的子序列中的适当位置，直到全部记录插入完成为止。

void insertSort(int array[], int count){int i, j, k;for (i = 1; i < count ; i++) {for (j = i - 1; j >= 0; j--) { // 为a[i]在a[0, i-1]上找一个合适的位置if(array[j] < array[i]) break;}if (j != i-1) { // 找到了一个合适的位置jint temp = array[i];// 将比array[i]大的数据全部往后移for(k = i - 1; k > j; k--) {array[k+1] = array[k];}// 将array[i]放入合适的位置array[k+1] = temp;}}
}

希尔排序

其实就是分组插入排序, 也称为缩小增量排序. 比普通的插入排序拥有更高的性能.

算法思想 : 根据增量dk将整个序列分割成若干个子序列. 如dk = 3, 序列1, 7, 12, 5, 13, 22 就被分割成1, 5, 7, 13和12, 22, 在这几个子序列中分别进行直接插入排序, 然后依次缩减增量dk再进行排序, 直到序列中的元素基本有序时, 再对全体元素进行一次直接插入排序. (直接插入排序在元素基本有序的情况下效率很高)

void shellSort(int array[], int count){for (int dk = count / 2; dk > 0; dk = dk / 2) { // dk增量for (int i = 0; i < dk; i++) { // 直接插入排序for (int j = i + dk; j < count; j += dk) {if (array[j] < array[j - dk]) { // 如果相邻的两个元素, 后者比前者大, 则不用调整int temp = array[j];int k = j - dk;while (k >= 0 && array[k] > temp) { // 每次while循环结束后, 保证把最小的插入到每组的最前面array[k + dk] = array[k];k -= dk;}// 每组第一个元素为最小的元素array[k + dk] = temp;}}}}}

归并排序

原理 : 归并排序是把序列递归地分成短序列，递归出口是短序列只有1个元素(认为直接有序)或者2个序列(1次比较和交换),然后把各个有序的段序列并成一个有序的长序列，不断合并直到原序列全部排好序。

void merge(int array[], int temp[], int start, int middle, int end) {// 将两个有序序列array[start, middle]和array[middle+1, end]进行合并int i = start, m = middle, j = middle + 1, n = end, k = 0;while(i <= m && j <= n) { // 哪个小就先插那个, 然后把temp下标和array插入位置的下标++if (array[i] <= array[j]) {temp[k++] = array[i++];} else {temp[k++] = array[j++];}}// 插完之后看谁没插完就继续插谁while(i <= m) temp[k++] = array[i++];while(j <= n) temp[k++] = array[j++];// 把temp的元素copy回array中for (int i = 0; i < k; i++) array[start + i] = temp[i];}void mSort(int array[], int temp[], int start, int end) {if (start < end) {int middle = (start + end) / 2;mSort(array, temp, start, middle); // 递归出来以后左边有序mSort(array, temp, middle + 1, end); // 右边有序merge(array, temp, start, middle, end); // 合并两个有序序列}}void mergeSort(int array[], int count){// 定义辅助数组int *temp = (int *)malloc(sizeof(array[0]) * count);// 开始进行归并排序mSort(array, temp, 0, count - 1);// 释放指针free(temp);}

堆排序

二叉堆的定义
- 二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。
二叉堆满足二个特性：
- 父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。
- 每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

大顶堆：父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值
小顶堆：父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值

算法思想：堆排序 = 构造堆 + 交换堆末尾元素与根结点 + 删除末尾结点 + 构造堆 + 交换....依次循环, 由于根结点必定是堆中最大(最小)的元素, 所以删除出来的元素序列也必定是升序(降序)的.

void minHeapFixdown(int array[], int i, int count) {int j, temp;temp = array[i];j = 2 * i + 1;while(j < count) {if (j + 1 < count && array[j+1] < array[j]) j++; // 找出较小的子节点if (array[j] >= temp) break; // 如果较小的子节点比父节点大, 直接返回array[i] = array[j]; // 设置父节点为较小节点i = j; // 调整的子节点作为新一轮的父节点j = 2 * i + 1; // 调整的子节点的子节点}array[i] = temp;
}void heapSort(int array[], int count) {for (int i = (count - 1) / 2; i >= 0; i--) {// 构造小顶堆minHeapFixdown(array, i, count);
}for (int i = count - 1; i >= 1; i--) {// 交换根结点与最末节点int temp = array[i];array[i] = array[0];array[0] = temp;// 剩余的n-1个元素再次建立小顶堆minHeapFixdown(array, 0, i);}}

快速排序

算法思想 : 先从数列中取出一个数作为基准数 -> 将比这个数大的数全放到它的右边，小于或等于它的数全放到它的左边 -> 再对左右区间重复第二步，直到各区间只有一个数

int quickSortPartition(int array[], int start, int end) {int i = start, j = end;// 默认第一个元素为哨兵int sentry = array[i];while (i < j) {// 从右往左找第一个小于哨兵的元素while (i < j && array[j] >= sentry) j--;// 找到了if (i < j) {array[i] = array[j];i++;}// 从左往右找第一个大于哨兵的元素while(i < j && array[i] <= sentry) i++;// 找到了if (i < j) {array[j] = array[i];j--;}}// 把哨兵放到i == j的位置上array[i] = sentry;// 返回哨兵的位置return i;
}void quickSort(int array[], int start, int end) {if (start < end) {// 找出分界点int index = quickSortPartition(array, start, end);quickSort(array, start, index - 1); // 对分界点左边进行排序quickSort(array, index + 1, end); // 对分界点右边进行排序}}void quickSortEntry(int array[], int count) {quickSort(array, 0, count - 1);
}

基数排序

基数排序的算法复杂度不会因为待排序列的规模而改变. 基数排序又称为桶排序. 基数排序有3个重要概念 :

r : 关键字的基数, 指的是关键字k的取值范围, 十进制数的话, k=10
d : 位数
n : 关键字的个数

这里给个例子, 没有代码.

例如一组序列121 83 17 9 131. 先根据个位数排序121 83 13 17 9
2. 再根据十位数排序9 13 17 121 83
3. 再根据百位数排序9 13 17 83 121
4. 由于没有千位数, 所以算法结束ps : 需要注意的是, 基数排序每一轮排序所采用的算法必须是稳定的排序算法,
也就是说, 例如13和17的十位数均为1, 但是由于个位数排序的时候13是在17的前面的,
所以十位数排序过后13也必须在17的前面.

查找算法

算法	最优复杂度	最差复杂度	平均复杂度
顺序查找	O(1)	O(n)	O(n)
折半查找	O(1)	O(log n)	O(log n)
哈希查找	O(1)	O(1)	O(1)

顺序查找

算法思想 : 顾名思义就是从数组的0坐标开始逐个查找对比.

int orderSearch(int array[], int num, int count) {int index = -1;for (int i = 0; i < count; i++) {if (array[i] == num) {index = i;break;}}return index;
}

折半查找

算法思想 : 在一个有序数组里, 先对比数组中间的数middle与要查找的数num的大小关系

- middle == num : 直接返回
- middle < num : 递归查找数组右半部分
- middle > num : 递归查找数组左半部分

int binarySearch(int array[], int num, int start, int end) {int index = -1;if (start <= end) {int middle = (start + end) / 2; // 数组中点if (array[middle] == num) {index = middle; // 找到了return index;}else if (array[middle] > num) {return binarySearch(array, num, start, middle - 1); // 查找数组左边} else if (array[middle] < num) {return binarySearch(array, num, middle + 1, end); // 查找数组右边}}return index;
}

哈希查找

哈希查找需要一张哈希表, 哈希表又称为散列法, 是高效实现字典的方法. 查找速度在O(1), 这说明无论你需要查找的数据量有多大, 他都能在常数时间内找到, 快得有点违背常理吧? 嘿嘿.

哈希表几个重要的概念：

负载因子：α = n / m (n为键的个数, m为单元格个数), 负载因子越大, 发生冲突的概率则越大
哈希函数：
- 哈希函数是指你把一样东西存进去之前, 先对它的key进行一次函数转换, 然后在通过转换出来的值作为key, 把你要存的东西存在表上.
碰撞解决机制：
- 再哈希法 : 使用其他的哈希函数对key再次计算, 直到没有发生冲突为止(计算量增加, 不推荐)
- 线性勘测法：通过一个公式, 算出下一个地址, (存储连续的)
- 二次探测法：生成的地址不是连续的, 而是跳跃的.
- 如果两样东西通过哈希函数算出来的key相同怎么办? 东西怎么存? 这个时候就是碰撞检测机制派上用场的时候
- 方法一：开散列法, 也称分离链法 : 即相当于在数组中每个格子是一个链表, 只要发生冲突就把后来的value拼接在先来的value后面, 形成一条链.
- 方法二：闭散列法, 也称开式寻址法 :

可以这么说, 哈希函数设计得越好, 冲突越少, 哈希表的效率就越高.

需要了解的名词

旅行商问题
- 哈密顿回路 : 经过图中所有顶点一次仅一次的通路
凸包问题
- 凸集合 : 平面上一个点集合, 任意两点为端点的线段都属于该集合
- 凸包 : 平面上n个点, 求包含这些点的最小凸多边形
- 极点 : 不是线段的中点
曼哈顿距离
- dM (p1, p2) = |x1 - x2| + |y1-y2|
深度优先查找(DFS) : 用栈实现
广度优先查找(BFS) : 用队列实现
拓扑排序( 无环有向图 )
- 深度优先查找 -> 记住顶点(出栈)的顺序, 反过来就是一个解
- 找源, 它是一个没有输入边的顶点, 然后删除它和它出发的所有边, 重复操作直到没有源为止.
2-3树
- 2节点 : 只包含1个键和2个子女
- 3节点 : 包含2个键和3个子女
- 高度平衡<所有叶子节点必须位于同一层>
- 可以包含两种类型的节点
BST树 :
- 也称为B树
- 二叉查找树, 随着插入和删除的操作有可能不是平衡的.
AVL树 :
- 平衡二叉查找树
- 左右子树深度只差不超过1
- 左右子树仍为平衡二叉树
RBT红黑树 :
- 一种平衡二叉树
- 跟AVL树类似, 通过插入和删除操作时通过特定操作保持二叉查找树的平衡, 从而有较高的查找性能.
- 相当于弱平衡的AVL数(牺牲了一定次数的旋转操作), 若查找 > 插入/删除, 则选择AVL树; 若差不多则选择红黑树
哈夫曼树
- 自由前缀变长编码
- 叶子之间的加权路径长度达到最小
- 哈夫曼编码

几种图论的算法

Warshall算法
- 选取一个顶点作为桥梁, 考察所有顶点是否可以通过该桥梁到达其他的顶点
- 求有向图的传递闭包
- 算法思想
Floyed算法
- 选取一个顶点作为桥梁, 考察所有顶点是否可以通过该桥梁到达其他的顶点, 如果能, (如a到c, b为桥梁)再比较Dab + Dbc < Dac ? 如果成立, 则更新最短距离
- 求每个顶点到各个顶点的最短路径
- 算法思想
Prim算法
- 首先找出S = {你选取的一个顶点}, 然后添加另一顶点(该顶点∈(V-S)且它们两顶点之间的边的权重最小, 直到S = V.
- 求无向带权连通图的最小生成树(每次按节点递增)
- 算法思想
Kruskal算法
- 第一次选出权重最小的边加入, 之后每次选择权重最小的边加入并不构成环.
- 求无向带权连通图的最小生成树(每次按边递增)
- 算法思想
Dijkstra算法
- 找一个源(起点), 之后求出离起点最近的点的距离; 然后第二近, 以此类推(允许通过其他点为中间点), 设置顶点集合S, 只要源到该顶点的距离已知就把该顶点加入到S中. 直到S包含了V中所有顶点.
- 求有向带权图中一个"源"到所有其他各顶点的最短路径
- 算法思想