铺瓷砖问题的C++实现

铺瓷砖问题

这是最近学离散数学中的一个问题

不在这里引用问题的官方介绍了，简单地说，就是左图这样的MxN的地板，用右图这样的瓷砖来铺，可对右图的瓷砖进行旋转和翻折。（当然这个问题有很多有趣的形式，不具体讨论，这不是重点）

问题的解决

首先有很多有趣的数学方法来解决这个问题，不详细叙述。我想用最笨的方法（当然最终也没能用这种方法解决，但是总归有些收获），逐一的去尝试各种可能情况来解决问题。当然这样的尝试只能靠计算机来实现了。

寻找解决思路

首先要找到一种方法来表示这样的地板。
表示这样的地板需要表示MxN个数据，以及各个数据之间的位置关系。

若只描述数据的话，数组是一个很好的选择，但是数组在表示他们之间的位置关系时略显乏力。可以通过特定的函数来按照位置关系来对其进行操作，但是这样并不能使数据本身包含位置关系的特性。

考虑到链表。通常的链表对应一维数组，但是对其进行稍稍变形也许就能对应二维数组了。决定采用这样的方式来表示数据。

类设计

多次试错后，做出一个我觉得值得记录的方法（没学过数据结构，可能设计不是很好，不好又咋滴，我高兴）

本打算将格点设计为一个类，再通过has-a继承得到瓷砖的类。然而发现不同格点的几何关系有较大差异，这样的设计貌似有点困难。
索性直接来设计整个瓷砖的类（接下来用用Block表示），不同的瓷砖的几何关系通过不同构造函数的行为来描述。这就需要设计构造函数。为了设计构造函数，需要首先对这个数据的特性分析，并提炼其特性。

图乱七八糟，希望我能说明白。
从第一个点开始生成整个表格。首先需要构造第一个格点（1，1），其对应构造函数f1。
在f1中需要向左向右分别构造两个格点。在新的格点中需要继续向左向右构造格点。

如上图，以这样的太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦的方式来使得格点扩张。然而有一个问题，两亿生四象之后，有两象实际上是同一象，这就需要想办法使其合并。

如上图，一个不错的方法是使得两仪有不同的行为。其中一个仪生两象，而另一个仪生一象，同时使用另一仪的一象。
但是还有问题，这样的方法是按照三角的形式扩张的，如何使其结束并成为矩形？一个方法是将三角形削掉两角变成矩形。

如上图，令三象（四象并为三象）的一象所生的一卦为虚无，虚无只能再生虚无，也就是削掉了三角形的角。

这是整体的思想，其中的太极，两仪，八卦均为格点，也就是数据。“生”的过程其实就是构造的过程，生成一个虚无，即为指向一个空指针。经过这样的提炼，得到了一个应该可行的设计思路。

.可以看到，格点有两种不同的行为，一种是生成两个格点，另一种是生成一个格点并使用一个格点。这就要求有两种不同的构造函数。
.为了实现连续的生成，可以想到，我们会在构造函数中调用构造函数。
.但是这样的递归是无限的，如何使其停下来，我们需要条件判断。
.如何设计判断，需要记录向左或向右生成的格点个数，当其到达m或n是停下来。这样的记录数据应该是属于类的，所以需要静态变量。
.在构造函数前要设置格点总数，也就是m和n，这样属于类的特性，需要静态函数和静态变量实现，而且需要在构造前调用。

类的C++实现

成员变量

class Block
{
private://辅助记录格点位置static int leftnum ;static int rightnum; //记录格点位置int x;int y;//记录表格大小static int row;static int column;//记录格点数static int num;//记录格点状态bool cover;//描述位置关系Block* left;Block* right;
}

为了描述两种生成格点方式，使用两种构造函数

public://两种构造函数Block();Block(Block* right);

其实现稍后介绍

要在建立对象之前设置地板大小

static bool setbock(int r, int c);

其实现较为简单

bool Block::setbock(int r, int c)
{Block:: row = r;Block::column = c;if (r || c)return true;return false;
}

当然要有析构函数

~Block();

构造函数实现

构造函数是最重要的部分，介绍其实现

根据这张图来完成设计
咖啡色三点有相同的行为，均生成两格点。虽然最右边的那个格点生成的两个格点之一为空指针。其特点为，每个格点都是上一个个点向右生成的。首先完成这个构造。

Block::Block() :left(nullptr), right(nullptr)
{//每次构造，格点数加一num++;std::cout << num << "-----" << std::endl;cover = false;//先忽略以下三行x = rightnum;y = leftnum;std::cout <<x<<y<< std::endl;//若未到达边界，向右构造if (rightnum < row){rightnum++;//向右构造所得格点任然遵循这个构造函数的行为right = new Block();}//若未到达边界，向左构造if (leftnum < column){leftnum++;//向左构造得到格点不再符合这个构造函数//使用另一个构造函数，先去下一部分研究另一个构造函数if (right)left = new Block(right->left);elseleft = new Block(nullptr);}
}

接下来是另一个构造函数，是上图绿色个点所使用的构造方法。
由于在构造时要使用一个已有的格点（这也是为什么先从右开始构造的原因），所以需要一个参数

Block::Block(Block* right)
{num++;std::cout << num<<"-----" << std::endl;cover = false;//忽略以下三行x = rightnum;y = leftnum;std::cout << x << y << std::endl;if (rightnum < row){//向右构造时使用一个已有格点，这个格点通过参数传入，即right，将传入个right赋值给this的right变量，完成了对已有格点的使用    this->right = right;}if (leftnum < column){//向左构造时，任然生成绿色格点，所使用构造方法与此构造方法相同，递归即可leftnum++;//考虑边际格点指向nullptr后不能对nullptr操作，需要分情况if (right)//如果未到达边界，直接递归//根据几何关系，传入的参量（即所使用的已有格点）为刚才向右使用的格点的左指向格点。//也就是this->left->right=this->right->left,省略this，right->即为传入参数left = new Block(right->left);else//如果已经到达边界，使用的格点为nullptrleft = new Block(nullptr);}//先忽略以下三行leftnum--;if (leftnum == 1)rightnum --;
}

回到第一个构造函数中的向左构造，即棕色格点的向左构造得到绿色格点

 if (right)//绿色格点向右使用一个已有格点，根据几何关系，所使用的这个格点正是刚才向右构造的格点(this->right) 生成的左格点(this->right)->left   //即this->left->right=this->right->leftleft = new Block(right->left);elseleft = new Block(nullptr);

完成了整体的构造框架，但是还有细节需要考虑
如果只有刚才所涉及的步骤，无法完成所有的过程，因为记录向左或向右构造的格点的个数的变量rightnum和leftnum在到达边界后未进行修正，使得只能进行一次完全递增。

就像是这样，无法完整的构造。

我们知道迭代的函数在遇到边际然后退出时，会依次执行剩余的步骤，用此方法，在退出所执行的代码中加入修正，依下图所示

1234步骤是刚才的构造过程，567为修正过程，89构造，10、11、12修正。。。按照这种方法，使得rightnum和leftnum所表示的值总为当前格点所在位置。

leftnum--;
if (leftnum == 1)rightnum --;

这三行完成的便是修正的任务。只有在构造函数2执行到边际时，也就是菱形图案的最下面点是，迭代开始结束，开始依次执行每次构造2的这段代码，便完成了修正。

正如提到的，rightnum和leftnum所表示的值总为当前格点所在位置。所以可以用属于对象的变量x，y来记录每个对象的位置，并输出检验。当然这是可有可无的。

 x = rightnum;y = leftnum;std::cout << x << y << std::endl;

由于在构造是使用了new，一定要在析构时将其分配的内存释放。

Block::~Block()
{delete left;delete right;
}

析构函数完成了这些工作。析构和构造顺序相反使得析构可以由下到上顺利完成。

进行验证

 Block::setbock(3, 3);Block A;

输出结果如下

1-----
11
2-----
21
3-----
31
4-----
32
5-----
33
6-----
22
7-----
23
8-----
12
9-----
13

这与我们设想的构造顺序是一致的。

what a pity

然而用这种方法建立的数据去解决问题的时候，发现并没有简单。
因为是想用遍历所有情况的笨办法来解决问题，考虑了两种方法。
一种为有一定顺序的先左后右的方法来遍历，然而失败了，我都想不明白一共要进行几次铺砖。
另一种为用随机数来决定每一步的走法，然后不断循环进行。然而这种方法并不能保证解决问题，只能是一定概率可解决问题。
是我太菜了。。。

思考

对建立地板模型的过程有些想法。

用链表的思想可以建立数据之间的几何关系。但是只描述了单项几何关系。
如果使用双向链表便可以建立完整的一块地板。（当然我觉得在这个问题中不需要双向链表）。

如果是一个扫地机器人，一次可以清理一块地板。是不是可以利用这种方法来描述扫地机器人对地板的识别，然后使用随机的方法来让扫地机器人进行清理，并记录时间。挑选时间较短的实验进行研究，说不定可以发现很好的控制扫地机器人路径选择的算法。
当然只是自己想想而已。毕竟还是大白菜，还有好多需要学。

如果建立一个二维指针数组来记录每一格点，那样有很方便索引了。虽然我还没找到一个好方法完成这件事。又或许这种方法本事就有问题。。。。

菜是菜了点，菜的不止一点
还是要厚着脸皮推荐一下小白猿的公众号

要不干脆叫大白菜得了。。。