QR分解-givens旋转与Householder变换
目录
- 一、Householder QR分解
- Householder矩阵
- Householder变换
- Householder QR分解
- Householder物理意义
- 二、Givens 旋转QR分解
- 功能表现
- 计算方式
- QR分解
- 三、QR分解适用情况
一、Householder QR分解
Householder矩阵
Householder变换
同理
例子:将列向量其他元素置零
Householder QR分解
按列消元,一列一列操作
详细消元顺序见:householder进行QR分解
matlab代码:
Householder物理意义
矩阵H叫做初等反射矩阵,或称为Householder矩阵。Hs=t的变换叫做Householder变换。
二、Givens 旋转QR分解
功能表现
要把xi变为0,使用x_k把x_i变为0,givens矩阵计算需要使用xi,xk为xi同一列对角矩阵的元素,也可以选择同一列的其他元素
计算方式
注:Givens旋转每次变化的是第i行和第j行
QR分解
超定矩阵,QR分解实例
QR分解注意事项:
- 从左到右逐列执行。
- 每一列,从下往上执行。
- 每一次的Givens矩阵由要消为0 的元素和对应对角线的元素确定。
参考:消元顺序
三、QR分解适用情况
如下图所示矩阵,前面几列为0元素更多,可以使用givens消元,后面0元素更少,可以使用householder消元,householder计算矩阵更小
图一顺序不适合givens,消去第一列后整个矩阵都会fill,图二更适合,m*n,消元n次就可以得到上三角矩阵
参考文献:ppt QR分解
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