第二章凸集

主要内容:

仿射集合和凸集
重要例子
保凸运算
广义不等式
分离和支撑超平面
对偶锥与广义不等式

2.1仿射集合和凸集

仿射集合

仿射集合：集合 $C\subseteq R^n$ 中任意两个不同点的直线仍然在集合 $C$ 中，那么称集合 $C$ 是仿射集合。

$\forall x_{1},x_{2}\in C,\forall\theta \in R,\theta x_{1}+(1-\theta)x_{2} \in C$

如上图，对于 $x_{1}\, x_{2}$ ，取不同的 $\theta$ 可以得到不同的点，这些点构成了经过 $x_{1}\, x_{2}$ 的直线。

如果将两个点扩展到多个点，引出仿射组合的概念，首先 $\theta_{1}+\theta_{2}+\cdots +\theta_{k}=1$ ，则具有 $\theta_{1}*x_{1}+\theta_{2}*x_{2}+\cdots +\theta_{k}*x_{k}$ 的形式的点为 $x_{1},x_{2},\cdots x_{k}$ 的仿射组合。

仿射集合的例子： $C= \left \{ x| Ax=b\right \}$ 显然

$\forall x_{1},x_{2}\in C,\forall \theta \in R, x = \theta x_{1}+(1-\theta)x_{2} Ax= A(\theta x_{1}+(1-\theta) x_{2})=\theta Ax_{1}+(1-\theta) Ax_{2}=\theta b+ (1-\theta)b= b$

仿射包：集合C中的点的所有仿射组合组成的集合为C的仿射包。

凸集

凸集可以理解成一种特殊的仿射集合，凸集的数学定义:

$\forall x_{1},x_{2}\in C,\forall \theta \in \left [ 0,1 \right ],\theta x_{1}+(1-\theta)x_{2} \in C$

可以看出相比于仿射，凸集就是对 $\theta$ 有取值范围的约束。几何上来看，仿射是经过两个点的直线在集合C中，而凸集则是连接两个点的线段在集合C中。

如上图，a是凸集，b和c均不是凸集。

凸组合：首先 $\theta_{1}+\theta_{2}+\cdots +\theta_{k}=1$ ，且 $\theta _{i}\geq 0,i=1\cdots k$ ，则具有 $\theta_{1}*x_{1}+\theta_{2}*x_{2}+\cdots +\theta_{k}*x_{k}$ 的形式的点为 $x_{1},x_{2},\cdots x_{k}$ 的凸组合。

凸包：集合C中所有点的凸组合的集合G为集合C的凸包。如下图，阴影部分即为包含十五个点的集合C的凸包。

锥

锥： $\forall x\in C,\forall \theta\geq 0,\theta x\in C$ ，这样的集合是锥，或非负齐次。

凸的锥，则为凸锥，即满足 $\forall x_{1},x_{2} \in C, \forall \theta_{1},\theta_{2}\geqslant 0,\theta_{1}x_{1}+\theta_{2}x_{2}\in C$ ，如下图为一个凸锥。

锥组合： $\theta _{i}\geq 0, i=1\cdots k$ ，具有 $\theta_{1}*x_{1}+\theta_{2}*x_{2}+\cdots +\theta_{k}*x_{k}$ 的形式的点为 $x_{1},x_{2},\cdots x_{k}$ 的锥组合。

如果每个 $x_{i}$ 都属于集合C，那么 $x_{i}$ 的每一个锥组合也在C中。

C是凸锥的充分必要条件是它包含其元素的所有锥组合。

锥包：集合C中的元素的所有锥组合的集合是集合C的锥包。

凸优化第二章凸集 2.1仿射集合和凸集相关推荐

凸优化笔记（一）：仿射集，凸集与锥
一.直线和线段设为空间中的两个点. 直线: 线段: 二.仿射集(Affine Set)凸集(Convex Set)和锥(Cones) 仿射集仿射集:通过集合中任意两个不同点的直线仍然在集合C中,则 ...
《C++应用程序性能优化::第二章C++语言特性的性能分析》学习和理解
<C++应用程序性能优化::第二章C++语言特性的性能分析>学习和理解说明:<C++应用程序性能优化> 作者:冯宏华等 2007年版.最近出了新版,看了目录,在前面增加了一章 ...
SQL优化-第二章-从解释计划层面让SQL飞
2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> 前言在第一章,我们谈到加强数据库的设计层面认知可以让SQL的跑得更快,这章我们就谈论下如何从语言层面来提供优化SQL.如果说 ...
ARM嵌入式系统开发：软件设计与优化--第二章ARM处理器基础
注:本文资料全部来源于网络或书籍,同时加上个人理解.若有侵权,告知即删.若有错误,留言商讨. 1.寄存器: 总共有37个寄存器,最多可以有17个活动寄存器(16个数据寄存器,2个状态寄存器:CPSR和 ...
凸优化 [Convex Optimization] — [美] 鲍德（Stephen Boyd），Lieven Vandenberghe 著，王书宁，许鋆，黄晓霖译
<信息技术和电气工程学科国际知名教材中译本系列:凸优化>从理论.应用和算法三个方面系统地介绍凸优化内容. 凸优化在数学规划领域具有非常重要的地位.从应用角度看,现有算法和常规计算能力已足以 ...
凸优化_Stephen_Boyd_
AI 菌由于凸优化在机器学习中还是很重要链接:http://pan.baidu.com/s/1eS3vuLk 密码:3epx 理论部分由4章构成,不仅涵盖了凸优化的所有基本概念和主要结果,还详细介 ...
凸优化第一【凸集与凸优化简介】
[本文仅供学习记录,概无其他用处,一些图片资源来自网络,侵删] 凸优化是一个简单的优化问题,优化-数学规划概念相同,本课程主要学习的内容包括:凸集.凸函数.凸优化和有关凸优化的一些算法. 优化:从一个 ...
凸集凸函数凸优化
目录写在前面精简版概念理解凸集凸集的性质凸函数凸函数性质凸优化为什么要求是凸集呢? 为什么要求是凸函数呢? 判断是否为凸函数的简单办法为什么区分凸优化和非凸优化非凸优化问题如何转为 ...
详解GCN、GAT、凸优化、贝叶斯、MCMC、LDA
如果你准备发AI方向的论文,或准备从事科研工作或已在企业中担任AI算法岗的工作.那么我真诚的向大家推荐,贪心学院<高阶机器学习研修班>,目前全网上应该找不到类似体系化的课程.课程精选了四大 ...
论文阅读笔记【1】：在线凸优化算法Greedy Projection
基本信息题目: Online Convex Programming and Generalized Infinitesimal Gradient Ascent 作者: Martin Zinkevic ...

凸优化第二章凸集 2.1仿射集合和凸集

第二章凸集

2.1仿射集合和凸集

仿射集合

凸集

锥

凸优化第二章凸集 2.1仿射集合和凸集相关推荐

最新文章

热门文章