六、(10分)

阶方阵
满足: 每行元素之和都等于
, 并且
. 试求
的所有代数余子式之和
.

解法一 (矩阵性质)

, 则由条件可知
. 由于
是非异阵, 故
(否则由
可推出
, 矛盾), 于是
. 注意到
, 故
, 即
的每行元素之和都等于
, 从而
.

解法二 (行列式性质) 将行列式

的第
列之外的其他列全部加到第
列上, 则由条件和行列式的性质可得:

右边的行列式按照第

列进行展开, 可得

于是

, 从而
.

解法三 (行列式模板) 采用与高代白皮书例 1.32 相同的记号, 则有

注意到

的每行元素之和都等于零, 从而它是奇异阵, 于是

由此即得

.

解法四 (降阶公式)

, 则由降阶公式或高代白皮书的例 1.8 可得

另一方面, 将左边行列式的前

列全部加到第
列上, 可得

由此即得

.

本题是高代白皮书例 2.22 的自然延伸. 如果大家去对比一下 19 级高代 I 每周一题第 7 题, 就不难发现: 数学问题经过适当的抽象之后, 往往更容易看清楚问题的本质, 从而可以得到更加简洁的解法或证法.

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