【线性代数笔记】秩为1的矩阵的性质

定理1 矩阵An×mA_{n\times m}An×m的秩为111⟺\Longleftrightarrow⟺A=αβTA=\alpha\beta^TA=αβT，其中α,β\alpha, \betaα,β分别为n,mn,mn,m维非零列向量。

证明：
必要性：由等价标准型定理知存在可逆矩阵P,QP,QP,Q使得A=P[1OOO]QA=P \begin{bmatrix}1&O\\O&O\end{bmatrix}QA=P[1OOO]Q，其中[1OOO]=[1O]n×1[1O]1×m\begin{bmatrix}1&O\\O&O\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\O\end{bmatrix}_{n\times 1}\begin{bmatrix}1&O\end{bmatrix}_{1\times m}[1OOO]=[1O]n×1[1O]1×m。
令α=P[1O]n×1\alpha=P\begin{bmatrix}1\\O\end{bmatrix}_{n\times 1}α=P[1O]n×1，βT=[1O]1×mQ\beta^T=\begin{bmatrix}1&O\end{bmatrix}_{1\times m}QβT=[1O]1×mQ，则A=(P[1O]n×1)([1O]1×mQ)=αβTA=\left(P\begin{bmatrix}1\\O\end{bmatrix}_{n\times 1}\right)\left(\begin{bmatrix}1&O\end{bmatrix}_{1\times m}Q\right)=\alpha\beta^TA=(P[1O]n×1)([1O]1×mQ)=αβT。
充分性：设A=αβTA=\alpha\beta^TA=αβT，则由“矩阵越乘秩越小”知r(A)≤min⁡{r(α),r(β)}=1r(A)\le \min\{r(\alpha), r(\beta)\}=1r(A)≤min{r(α),r(β)}=1。又α,β\alpha, \betaα,β非零，故A≠OA\ne OA=O，因此r(A)>0r(A)>0r(A)>0，r(A)=1r(A)=1r(A)=1。

定理2 矩阵An×n=αβTA_{n\times n}=\alpha\beta^TAn×n=αβT（α,β≠0\alpha,\beta\ne0α,β=0），则：
(1) ∃\exists∃常数kkk使得A2=kAA^2=kAA2=kA；
(2) AAA的特征值为βTα,0,0,…,0\beta^T\alpha,0,0,\dots,0βTα,0,0,…,0；
(3) 当且仅当βTα≠0\beta^T\alpha \ne 0βTα=0时AAA可以对角化。

证明：
(1) A2=αβTαβT=α(βTα)βTA^2=\alpha\beta^T\alpha\beta^T=\alpha(\beta^T\alpha)\beta^TA2=αβTαβT=α(βTα)βT，而βTα\beta^T\alphaβTα是数，故可以提出来：A2=(βTα)αβT=(βTα)AA^2=(\beta^T\alpha)\alpha\beta^T=(\beta^T\alpha)AA2=(βTα)αβT=(βTα)A，令k=βTαk=\beta^T\alphak=βTα即得A2=kAA^2=kAA2=kA。
(2) 由r(A)=1r(A)=1r(A)=1知方程Ax=0Ax=0Ax=0有n−1n-1n−1个线性无关的特解，故000为AAA的特征值，其几何重数为n−1n-1n−1；又由代数重数大于等于几何重数知000的代数重数至少为n−1n-1n−1。同时，Aα=αβTα=α(βTα)=(βTα)αA\alpha=\alpha\beta^T\alpha=\alpha(\beta^T\alpha)=(\beta^T\alpha)\alphaAα=αβTα=α(βTα)=(βTα)α，因此βTα\beta^T\alphaβTα是AAA的一个特征值，α\alphaα为对应的特征向量。所以AAA的特征值为βTα,0,0,…,0\beta^T\alpha,0,0,\dots,0βTα,0,0,…,0（共n−1n-1n−1个000）。
这个结论也表明：tr(A)=βTα\text{tr}(A)=\beta^T\alphatr(A)=βTα。
(3) 当且仅当βTα≠0\beta^T\alpha \ne 0βTα=0时，特征值000的代数重数等于几何重数(n−1)(n-1)(n−1)，此时AAA可对角化。换言之，AAA不可对角化当且仅当向量α\alphaα，β\betaβ正交。

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