线性代数在图像处理中的应用 --- 纳尼? 2D的高斯核可以通过1D的高斯核直接生成？（秩为1的矩阵）
二维高斯核，Rank秩等于一的矩阵
之前，我在学习图像处理的时候，会经常用到Gaussian blur，也就是二维高斯低通滤波。当时用的都是Matlab中，现成的图像处理库。只需要输入sigma和kernel size这些参数就行了，完全不需要考虑高斯核中的每个点长啥样。虽然教科书里面也会有一些配图，例如：
直到后来，我学习高斯图像金字塔的时候发现，在别人的代码里面，他在生成二维高斯核的时候，并不是直接写出来的。而是，不论什么尺寸的2D高斯核，都是先生成一个对应长度的一维高斯核。然后再用这个一维的高斯核（列向量），乘以他自己的转置（行向量），生成我们期望的2D高斯核。就像这样：
当时我就觉得惊为天人，居然还有这种操作。再后来，我就把他这种做法，当作一种技巧来用，但一直都非常好奇，为什么可以这样？为什么别的二维滤波器不能这样合成？为什么只有二维高斯核可以这样合成？除了二维高斯核以外，还有没有别的二维滤波器可以用这种方法来实现？在后来的工作当中，我也因为这个问题咨询过许多高人，有人试图回答过，但都没有一个让我满意的答案，直到。。。后来，我学习了线性代数，线性代数的课本回答了我这个长久以来的疑惑。
因为：2D高斯核的秩rank为1！
所以，他可以表达成一个列向量乘以一个行向量的形式。也就是说，任何一个秩等于1的矩阵都可以表示成如下形式(其中，u，v都是列向量，又因为u,v的维数可以不同，所以，A不一定是方阵)：
例如：u,v维数相同的情形，得到的是一个3x3的方阵。
u,v维数不相同的情形，得到的是一个3x2的长方形矩阵
同时，我们还应该看到，一个列向量与一个行向量的乘积，既可以看成是以列向量为权重对行向量进行操作，也可以看成是以行向量为权重对列向量进行操作。只要一维向量是左右对称的，那么他与他的转置所生成的二维矩阵也是上下左右都对称的。
下面是我自己的一些笔记：
（全文完）
作者 --- 松下J27
古诗词赏析：
《木兰诗》---南北朝乐府诗集
唧唧复唧唧，木兰当户织。不闻机杼声，唯闻女叹息。(唯 一作：惟)
问女何所思，问女何所忆。女亦无所思，女亦无所忆。昨夜见军帖，可汗大点兵，军书十二卷，卷卷有爷名。阿爷无大儿，木兰无长兄，愿为市鞍马，从此替爷征。
东市买骏马，西市买鞍鞯，南市买辔头，北市买长鞭。旦辞爷娘去，暮宿黄河边，不闻爷娘唤女声，但闻黄河流水鸣溅溅。旦辞黄河去，暮至黑山头，不闻爷娘唤女声，但闻燕山胡骑鸣啾啾。
万里赴戎机，关山度若飞。朔气传金柝，寒光照铁衣。将军百战死，壮士十年归。
归来见天子，天子坐明堂。策勋十二转，赏赐百千强。可汗问所欲，木兰不用尚书郎，愿驰千里足，送儿还故乡。
爷娘闻女来，出郭相扶将；阿姊闻妹来，当户理红妆；小弟闻姊来，磨刀霍霍向猪羊。开我东阁门，坐我西阁床。脱我战时袍，著我旧时裳。当窗理云鬓，对镜帖花黄。出门看火伴，火伴皆惊忙：同行十二年，不知木兰是女郎。
雄兔脚扑朔，雌兔眼迷离；双兔傍地走，安能辨我是雄雌？
鸣谢（参考文献）：
1，线性代数及其应用，侯自新，南开大学出版社，1990.
（配图与本文无关）
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