一种将离散化状态方程映射为并行多处理器计算机的方法

V1.1

摘要：针对大量存在的控制系统(通常包含多个微控制器)以及相应的仿真系统，本文提出了一种通用的理想化的基于共享内存的并行多处理器计算机的模型。为保证计算的确定性和可重复性，本文提出的这种并行多处理器计算机具备理论上的确定性的特点。本文在常规的数值离散化状态方程的基础上，考虑了目前计算机控制系统中大量存在的逻辑的和非数值的计算的情况，对离散化状态方程进行了进一步的抽象，提出了一种新的状态方程构型。并提出了一种将这种状态方程转换到理想计算机模型的方法。

关键词：共享内存并行计算确定性离散化状态方程

引言

现代化的控制系统中大量地采用了计算机/微处理器和通信设备，为实现复杂的控制功能和达到极高的控制性能，由计算机硬件和软件所构成的系统往往规模庞大、结构日趋复杂。在这样一种控制系统的设计过程中，大家经常会被各种不确定性所困扰，其中一种不确定性来源于计算机系统结构的本身。由于目前常见计算机的基本结构是串行化指令执行的，通过提高主频来加快指令执行的速度，其软件代码一般是按照尽可能快的方式来设计的，而对于准确的时间以及先后次序往往不是显式指定的。这种不确定性使得系统的行为难以被准确预期，使得系统的分析和测试的结果的说服力降低。

同时传统控制论着眼点主要在数量关系上面，而对于在实际计算机控制系统中大量存在的逻辑推理、字符串运算等缺少一个严谨的模型来加以描述，对其向计算模型的转变也缺少坚实的理论基础。而这与早期的数字电路的严格映射形成了鲜明的对比。因此非常有必要将控制理论从单纯的数值形式扩展到更一般的函数映射形式。同时这种函数映射又能够很方便地转换为计算。

换句话说，在构建一种更一般化的控制论模型基础上，提供一种将这种控制模型转换为一种计算模型的方式，而这种转换所带来的计算模型本身应该天然地具备确定性的特点。本文要讨论的就是这样一种体系。

状态方程及其计算图示

传统的差分状态方程有着非常简明的形式，如下：

在给定的时间间隔deltaT的情况下，

x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)－－－状态方程

y(k)=Cx(k)+Du(k)

－－－－－输出方程

其中x(k)、u(k)、y(k)分别是第k个时刻的状态、控制、输出向量。

G--系统矩阵、H--输入矩阵、C--输出矩阵、D --输出矩阵

该状态方程能够良好地适应基于数值的线性定常离散时间系统。然而在实际的控制系统中，特别是用计算机作为主控制器的系统，大量的存在非数值的，非定常的系统，那么有没有一种更一般的状态方程定义呢，

设想的形式如下：

在给定的时间间隔deltaT的情况下，

x(k+1)=f(x(k),u(k))

y(k)=g(x(k),u(k))

其中

x(k)、u(k)、y(k)分别是第k个时刻的状态、控制、输出向量。而向量中的每一个元素可以是数值、字符串或者任意确定的有限的复杂结构类型。

f是状态函数，实现从x(k),u(k)到x(k+1)的映射

g是输出函数，实现从x(k),u(k)到y(k)的映射

注：f,g其计算复杂度均假定是在常规可接受的范围内。

其计算图示如下：

其中u为输入变量，y为输出变量，x及x`分别表示状态变量的x(k)和x(k+1)，x0表示状态变量的初始值。f,g为计算部件，完成状态函数和输出函数的计算。

蓝色线段所对应的赋值操作，该赋值操作发生在计算部件两次计算之间。菱形表示二选一，在上图中始终只有唯一写入。

在此处，传递函数和状态方程是同一事物的两个不同名称。

其缩略图示如下：

其中

表示，这个方框是一个传递函数，Ts为传递函数的名称。

纯函数及其计算图示

纯函数仅仅是输入到输出的映射，而不存在状态变量。其形式如下：

y=pf(x)

其计算图示如下：

状态方程网络

设想一个复杂的系统，它表示为一个由状态方程和纯函数两种基础部件连接成的网络。

在模型中，可以很容易地看到纯函数很类似组合电路，而状态方程很类似时序电路，这里我们不妨将纯函数称之为“组合电路”，而将状态方程称之为“时序电路”。而对于数字电路来说，组合电路和时序电路是可以拼接的。那么，可不可以将纯函数与状态方程进行拼接呢。

一个典型的示例图示如下：

对于上述三个模块，其方程分别表示如下:

对于T1模块:

y1=g1(u1,x1)

x1`=f1(u1,x1)

对于pf1模块:

u2=pf1(y1)

对于T2模块：

y2=g2(u2,x2)

x2`=f2(u2,x2)

当将上述三个模块拼接起来后，其计算过程如下：

其中S1内部的各操作之间是并行的，

S2内部的各操作之间依据依赖关系来确定串并联关系，前后依赖的是串行的，没有依赖关系的是并行的。

S3内部各操作之间是并行的。

专用理想计算机

现考虑一种专门用于执行状态方程网络计算的、基于共享内存的多处理器的理想并行计算机，其形式如下：

其中计算部件为处理器，每个特定的计算部件为一个纯函数，如f1,g1,pf1,f2,g2。这些处理器被统一的晶振所控制，且是完全并行工作的。每个处理器计算速度无穷大，也就是说，其计算时间接近于0.

在共享内存区域，每个变量最多只有一个写入者，可以有多个读取者。u作为输入变量，只能被外在环境写入，y作为输出变量，可以被外在环境读取。计算部件对存储部件的存取操作非常之快，可以认为其时间为0.

内存内置拷贝操作。该拷贝操作的执行时间同样为0。该拷贝操作由统一的晶振控制。

晶振的时长与差分方程的时间deltaT存在对应关系。

为减少计算的步数，上述计算模型可以优化为下图：

其时序如下图：

其中S1,S2,S3的执行时间均假定为0，也就是说输入采样和输出保持改变的时间均位于deltaT周期的开始瞬间。

当然我们也注意到S1,S2始终是需要花一些时间的。为了确保结果在时间上的确定性，我们认为S1+S2时间等于betaT。对于控制系统而言，betaT越小，反应越敏捷。betaT不为0的，我们称之为理想计算机的修正模型。

换句话说，离散系统在时间上的行为完全取决于对于时间deltaT以及betaT的设定，而并不存在物理上的限制。

为了方便模拟，我们将外部环境也认为是遵从同样的计算模型。

上述理想计算机可以方便地实现状态方程到计算机的映射。此种计算机每次计算的结果均完全相同，其在时间上的表现也完全相同。即使进行高倍速计算，其结果仍然完全可重复。

专用理想计算机的实现

可以设计一种专用的并行计算机来实现上述专用理想计算机，也可以用一个分布式计算机系统来模拟它。

同时，为了方便应用，我们也可以用普通的单PC的串行计算机来仿真上述专用理想计算机，并取得完全一致的计算结果。

一般来说，只要截获上述晶振的访问函数，并且严格按照上述的次序(S1,S2,S3)来执行，将并行过程转为相应的串行过程，并不会对计算的结果带来任何的改变。

我们注意到，现代的函数式语言(比如javascript)，可以容易地模拟上述语义。

我们也注意到，采用GPU通用编程比如英伟达的CUDA构架，将S2放到CPU上来执行，将S1,S3放到GPU的核上来执行是可行的。

传递函数的逆

在很多情况下，已经知道控制目标(输出值)的期望表现和外部输入的特征，需要反推得到控制系统各环节的给定值。在此种情况下，雅克比矩阵伪逆(或转置)的方法是值得考虑的。更复杂的情形可能牵涉到路径规划及寻优问题。

当模型被建立起来之后，有关特定类型问题的寻优问题也是一个非常有趣的问题。

递推公式与通项公式

状态差分方程可以看做递推公式。有时候会希望采用通项公式以求快速计算，或者用来预估系统的表现。除了严格对应的通项公式，一些特征值(比如标量化特征)的通项公式也是具有教益的。

通项公式的存在性和如何由递推公式转化为通项公式是一个值得研究的问题。

结论

本文讨论了一种更为一般的离散化的控制论模型，并提出了一种非常简易的理想并行计算机模型，并对将控制论模型映射到理想计算机上的方法进行初步的探讨。

初步的分析表明，这种方式可以带来确定性的好处，并且容易实现控制论对象向计算的转移，对于进一步提高现代计算机控制系统的可验证性和加快设计，提供了一种新的途径。

参考文献

1. ExplicitlyParallel Programming with Shared-Memory is Insane: At Least Make itDeterministic! ---Joe Devietti, Brandon Lucia, Luis Ceze and Mark OskinDepartment of Computer Science and Engineering University of Washington

2.Ada

3.javascript

4.URBI script

5.matlab

6.NI labview