红黑树、B树、234树

一、红黑树

特性：1.每个节点是黑色或者红色的

2.根节点是黑色的

3.每个叶节点（NIL）是黑色的

4.不能有相连的红色节点

5.对每个节点，从该节点到其所有叶节点的路径上，均包含相同数量的黑色节点。

红黑树插入：

详细插入：

接上

插入总结：

1.插入红节点（如果黑节点就会出现链表情况，不违反红黑树的特性）

2.待插入节点z与父节点p冲突。

2.1 叔节点u为红色。则需将爷爷节点pp变红，p和u变红。且将pp标记为新的z

2.2 u为黑色。则需要旋转（以z的父节点为轴旋转）。并将父节点p标记为新的z

3.一次以p的旋转必然伴随着一次以pp的旋转。（当z与p与pp同一条线即同一侧，则直接以pp旋转一次即可）

4.循环的修复红黑树的特性，目标是修复到z.p.color为黑色的时候退出循环

红黑树删除（比较复杂，引入算法导论中伪代码与图形）：

1.位置替换伪代码：

/***    只是处理了u.p的指针指向。在外部还需手动处理v的子类指针**/
RB-TRANSPLANT(T, u, v) {if(u.p == T.nil) {T.root = v}else if (u == u.p.left) {u.p.left = v}else u.p.right = vv.p = u.p
}

2. 删除伪代码：

RB-DELETE(T, z) {y = zy-original-color = y.colorif (z.left == T.nil) {x = z.rightRB-TRANSPLANT(T, z, z.right)} else if (z.right == T.nil) {x = z.leftRB-TRANSPLANT(T, z, z.left);} else {y = TREE-MINIMUM(z.right) // z的后继节点y-original-color = y.colorx = y.rightif (y.p == z) { // y为z的右子节点，且是后继节点x.p = y// z被y替换时。y的右节点不需要处理。左节点需要自处理}else {RB-TRANSPLANT(T, y, y.right) // 为z被y替换处理，子节点需要自处理。左右节点都需要处理y.right = z.right y.right.p = y} RB-TRANSPLANT(T, z, y)// z被y替换之后，子节点的自处理。此处只需要处理左节点y.left = z.lefty.left.p = yy.color = z.color // 将y置为z的color.最终影响树性质的，决定权在y的原始颜色，y-original-color}// z只存在一个子节点的时候。y==z。y == z.color.影响树的性质，依然由y-original-color控制if (y-original-color == BLACK) {RB-DELETE-FIXUP(T, x)}}

3.删除-红黑树性质修复伪代码：

y的原始颜色y-original-color==RED时。

1.黑高不会变换。

2.y一定不是根节点，所以根节点依然是黑色

3.y只存在一个子节点的时候，y == z 。z被y的唯一子节点代替，无任何改变红黑树性质的可能。

4.y存在两个子节点，且y为z的右子节点时，即y也是z的后继节点。后继节点必然为其右子树中最小的，且y不存在左节点了。y为红色则y.right一定为黑色。y.right替换掉y之后红黑树性质也不可能冲突。

y的原始颜色y-original-color==BLACK时。

1.y为根节点，则其子节点替换，根节点就变红色，则违反了性质2。

2.删除之后，x与x.p(删除之前y.p)都为红色。则违反了性质4

3.将包含y的任一子树的黑节点个数都少一。因此y的任何祖先都补满足性质5。针对这一情况，算法导论中的处理方式为：将y的黑色下方到x，x为红色（自身黑属性+下方红），黑色（自身黑属性+下方黑色），x多出来的黑色并不是体现在x的color属性上，而是针对的x节点。包含x的子树中，x共享了一重黑色，或则两重黑色，从而保证了性质5。但是x却违反了性质1。

RB-DELETE-FIXUP：

RB-DELETE-FIXUP(T, x) {while (x != T.root && x.color == BLACK) {// x作为左节点if (x == x.p.left) {// x的兄弟节点ww = x.p.right// 情况1：x的兄弟结点w为红色，x.p.color必然为黑色。// 为保证红黑树的特性，可以将x.p与w的颜色改变// 接着以x.p为轴左转，并不会影响特性。就变成情况2，3，4if (w.color == RED) {w.color = BLACKx.p.color = REDLEFT-ROTATE(T, x.p)w = x.p.right}// 经过情况1的过滤：2，3，4的w必然是为黑色的// 情况2：w黑色，w的两个子节点都是黑色的// 将x上移至x.p，则w子树就会随着x多了一层黑，则需将w变红if (w.left.color == BLACK && w.right.color == BLACK) {x = x.p // 如果是情况1过来的，则此时x为红黑色，x.color = RED。所以得退出循环，并将x.color = BLACKw.color = RED} // 情况3：w黑色， w左孩子红色，w的有孩子为黑色// 交换w.left和w的颜色，并以w向右旋转。则特性不会变。并将w置为x.p.right.// 情况3就变为情况4了else if (w.right.color == BLACK) {w.left.color = BLACKw.color = REDRIGHT-ROTATE(T, w)w = x.p.right}// 情况4：w黑色，w的右孩子是红色的// 将x.p、w、w.right的颜色变换，并以x.p为轴向左旋转，即可保证特性，也可顺带去掉x的多一层黑色。else {// w与x.p的颜色交换// 以x.p为轴旋转，则w子树必然少一个黑，所以将w.right置黑。// 而x所在子树因转来个x.p的黑节点，则多一黑，刚好x的颜色多了黑直接去掉// x置为root 退出循环。w.color = x.p.color x.p.color = BLACK w.right.color = BLACKLEFT-ROTATE(T, x.p)x = T.root}}}x.color = BLACK
}

4.删除-图形示例：

总结：红黑树删除，需要找到后继节点y（可能为z的右节点，也有可能非右节点的后继）。

1. 红黑树增加维持红黑树的特性是看其叔叔，删除是看其兄弟节点控制x和w的移动变换，以及旋转和相关的变色。

2. 循环的修复红黑树特性，情况2由情况1过来，导致x.color=red只是作为x多了一层额外的黑色，从而退出循环。还有就是目的性的调整到x的兄弟节点为黑色，且w.right=red即情况4，很容易将原x的子树增加1曾黑色且将x置为root退出循环。

二、B树

一个B树结点通常和一个完整磁盘页一样大，并且磁盘页的大小限制了一个B树结点可以含有的孩子的个数。一个典型的磁盘的长度，可能为2^11~2^14字节。

度：每个结点包含的关键字个数有上界和下界。用一个被称为B树的最小度数degree的固定整数t>=2来表示这些界。

a.除了根结点以外的每个结点必须至少有t-1个关键字。因此除了根结点之外的每个内部结点至少有t个孩子。如果树非空，根结点至少有一个关键字。

b.每个结点至多可包含2t-1个关键字。因此一个内部结点至多有2t个孩子。当一个结点恰好有2t-1个关键字，则称该结点是满的full。

t =< 内部结点数 <= 2t

阶：对于一个m阶B树，根结点的子结点个数为1~m,非根结点的子关键字个数为[m/2]-1~m-1。子结点个数为[m/2]~m.因为当前节点满了之后，继续添加关键字。必然分裂成两半也就是[m/2]-1个关键字,[m/2]个子结点。

[m/ 2]=< 内部结点数 <= m

·综上：m = 2d。

1. B数的插入

伪代码就不贴上了

总结：插入是预分裂。确保到任何叶结点可以直接插入。

插入叶结点，未full(关键字数 = 2d - 1)直接插入。当叶子结点full则需要按中间值分裂。并上移中间关键字。插入的过程中如果发现，遍历的过程中，有full的结点，则提前分裂，分裂好之后再接着遍历插入。

2. B树的删除

总结：删除是预合并，或者预向兄弟结点借用。

1. 被删除节点x的关键字必须满足（t~2t-1）.满足条件的叶结点直接删除。

2. x为内部结点，且满足至少t个关键字。则需找k的前驱prev或者后继suc。

ab.如果prev和suc至少有一个满足至少t个关键字，则找到k的前驱k1或者后继（递归下去）。使用k1代替k。

c.prev和suc都不满足至少一个关键字t，皆是t-1个下限关键字。则将k下移至prev且将suc合并至prev并将suc中的孩子指针移动到prev。

3. 从根节点遍历下移的过程中，遇到t-1个的关键字x。

a.找到x的相邻的两个兄弟结点，如果有满足至少t个关键字的b结点。则将b中的关键字上移至父节点(注意递归)，并将父节点中的关键字下移至x。并将b中的孩子子指针移入x。

b.找不到满足条件的兄弟结点，则将父节点关键字下移，且将兄弟结点b合并到x。且

b的孩子指针移入x。

三.234树

234树为度数为2的B树。也可与红黑树相互转换.