一简介

Grover算法和Shor算法是量子算法领域两个最重要的量子算法，而Grover算法相比于Shor因子分解算法，有着更广泛的应用。

二问题描述

N=2nN=2^nN=2n，给定一个任意的x∈{0,1}nx\in\{0,1\}^nx∈{0,1}n；
目标：找到iii使得xi=1x_i=1xi=1（如果没有这样的iii，输出“no solution”）。

注：经典随机算法需要Θ(n)\Theta(n)Θ(n)次查询才能解决该搜索问题；Grover搜索算法需要O(n)O(\sqrt{n})O(n)次查询，O(nlog⁡n)O(\sqrt{n}\log n)O(nlogn)个其他量子门就可以解决该搜索问题（平方加速）。

三算法描述

3.1 量子门

1.查询量子门 Ox,±∣0⟩=(−1)xi∣i⟩O_{x,\pm}|0\rangle=(-1)^{x_i}|i\rangleOx,±∣0⟩=(−1)xi∣i⟩；
2.酉变换R：∣0n,b⟩→∣0n,b⟩|0^n,b\rangle\to|0^n,b\rangle∣0n,b⟩→∣0n,b⟩, 其中b∈{0,1}b\in\{0,1\}b∈{0,1};
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, ∣i,b⟩→∣i,b⟩|i,b\rangle\to|i,b\rangle∣i,b⟩→∣i,b⟩, 其中i∈{0,1}n∖{0n}i\in\{0,1\}^n\setminus\{0^n\}i∈{0,1}n∖{0n}。
3.Grover迭代：G=H⊗nRH⊗nOx,±\mathcal{G}=H^{\otimes n}RH^{\otimes n}O_{x,\pm}G=H⊗nRH⊗nOx,±。

3.2 量子线路

为了便于分析，我们定义两个量子态:
“Good”态：

“Bad”态:

其中ttt就是满足xi=1x_i=1xi=1的iii的个数。

算法步骤如下：
1.设置初始量子态

2.令ε=t/N\varepsilon=t/Nε=t/N，应用k=O(1/ε)k=O(1/\varepsilon)k=O(1/ε)次如下变换：
G=H⊗nRH⊗nOx,±\mathcal{G}=H^{\otimes n}RH^{\otimes n}O_{x,\pm}G=H⊗nRH⊗nOx,±
3.测量寄存器的状态，并检查测量结果iii是否是解。

其中，算法第2步理解如下：

简单来说，算法第2步：量子态从状态∣U⟩|U\rangle∣U⟩出发，通过不断的“反射+反射”，不断向目标态∣G⟩|G\rangle∣G⟩靠近。而目标态∣G⟩|G\rangle∣G⟩就是满足xi=1x_i=1xi=1的∣i⟩|i\rangle∣i⟩的叠加态。

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一简介

二问题描述

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3.2 量子线路

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