BJOI 2018 题解

[BJOI2018]求和
可以预处理每一个 k 的答案，树上差分减一下即可
[BJOI2018]治疗之雨
单独写：传送门
[BJOI2018]链上二次求和
枚举 l e n len len, a n s = ∑ l e n = l r ∑ i = l e n n s u m i − s u m i − l e n ans=\sum_{len=l}^r \sum_{i=len}^nsum_i-sum_{i-len} ans=∑len=lr∑i=lennsumi−sumi−len
令 sum 的前缀和为 S
a n s = ∑ l e n = l r S n − S l e n − 1 − S n − l e n ans=\sum_{len=l}^rS_n-S_{len-1}-S_{n-len} ans=∑len=lrSn−Slen−1−Sn−len
容易想到用线段树什么的维护一下，每次查询 [ l − 1 , r − 1 ] , [ n − r , n − l ] [l-1,r-1],[n-r,n-l] [l−1,r−1],[n−r,n−l]的前缀和的区间和
考虑修改对 S S S 的影响
回到 S 本身的定义 S k = ∑ i = 1 k s u m i S_k=\sum_{i=1}^ksum_i Sk=∑i=1ksumi
对于在修改区间 [ l , r ] [l,r] [l,r] 的 S i S_i Si，由于 s u m l sum_l suml 加了 v v v, s u m l + 1 sum_{l+1} suml+1 加了 v ∗ 2 v*2 v∗2 …
所以 S i S_i Si 会加上 ( i − l + 1 ) ∗ ( i − l + 2 ) ∗ v 2 \frac{(i-l+1)*(i-l+2)*v}{2} 2(i−l+1)∗(i−l+2)∗v
对于在 [ r + 1 , n ] [r+1,n] [r+1,n] 的 S i S_i Si,由于 [ r + 1 , n ] [r+1,n] [r+1,n] 的 s u m i sum_i sumi 每个都加了 l e n ∗ v len*v len∗v
所以 S i S_i Si 会加上 l e n ∗ ( l e n + 1 ) ∗ v 2 + ( i − r ) ∗ l e n ∗ v \frac{len*(len+1)*v}{2}+(i-r)*len*v 2len∗(len+1)∗v+(i−r)∗len∗v
所以线段树直接维护 i , i 2 i,i^2 i,i2 的系数，以及常数项的系数

[BJOI2018]二进制
一道神仙动态dp
考虑哪些序列可以被排列成 3 的倍数
首先，二进制的奇数为模3余1，偶数位余2，也就是说要满足奇数为偶数位相同，或者在多出来 3 的倍数个1，考虑在长度为 len 的区间放 k 个 1，len - k 个 0
如果 k 是偶数，那么可以匹配着放
如果 k 是奇数，那么只能将 k - 3 匹配着放，如果 k = 1就凉了
于此同时，发现 3 个 1 直接至少要插 2 个 0，于是如果 0 是 0/1 的话也凉了
发现凉凉的情况比较好统计，于是用全部区间 - 凉凉区间
重新整理一下凉凉的定义：

有奇数个 1，但 0 只有 0/1 个
只有 1 个 1

等等，好像有点重复，我们把第2个改成只有一个 1，且 0 的次数 >=2 就不会重了
考虑如何合并两个端点，用 d l [ 0 / 1 ] [ 0 / 1 ] dl[0/1][0/1] dl[0/1][0/1] 强制从左端点开始选，有 0/1 个 0, 1 的奇偶性的区间个数
f l [ 0 / 1 / 2 ] fl[0/1/2] fl[0/1/2] 表示强制从左端点开始选，1 只有一次，0 的个数为 0 / 1 / > = 2 0/1/>=2 0/1/>=2，的区间个数
然后还要维护连续的 0 的个数以及区间 0/1 个数，最后就是恶心的 p u s h u p pushup pushup

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