2018年暑假第四次周赛-图论部分题解

A。信我啊,这是签到题

这题是签到题

数据出锅，多组后来补的，后来直接删除了一整个文本。纯属意外。

出签到题难啊，本意是一道题教会17一个模型的。说没学过不该出的是没好好看题目的第四行。
你发现当图所有的点和与这个点直接相连(由边直接连接)的点的个数为偶数的时候，你被锤的概率降低了一点点点点点
这句话就是无向图欧拉回路判断定理。不懂百度，解法都丢题目上了。所以只要判断是否所有点的度是偶数，在并查集维护联通即可。

几个定理自觉记一下笔记。图是否联通是欧拉回路必备的坑点。

下面几句话自觉记笔记。

如果图G中的一个路径包括每个边恰好一次，则该路径称为欧拉路径(Euler path)。

1. 无向图存在欧拉回路的充要条件是，所有点的度是偶数（且图联通）。
2. 有向图存在欧拉回路的充要条件是，所有点的入度等于出度（且图联通）。

回路是一个点出发也要回到那个点，通路不需要回到起点。同样都要经过所有边。

1. 无向图存在欧拉通路的充要条件是，所有点的度是偶数。允许例外，两个点度为奇数。这两个点分别是起点和终点（且图联通）。
2. 有向图存在欧拉通路的充要条件是，所有点的入度等于出度。允许例外一个点入度比出度大一，另一个点入度比出度小一（且图联通）。

证明自己百度或者翻《离散数学》

扩展：欧拉回路可以找路径。算法自己找

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 10;int n, m, pre[MAXN], deg[MAXN];void init() {for(int i = 1; i <= n; i++ ) {pre[i] = i;}
}int findx(int x) {return pre[x] == x ? x : pre[x] = findx(pre[x]);
}void join(int x, int y) {int fx = findx(x), fy = findx(y);if(fx != fy) {pre[fx] = fy;}
}bool same(int x, int y) {return findx(x) == findx(y);
}int main()
{
//    freopen("2.in", "r", stdin);
//    freopen("2.out", "w", stdout);int u, v;while(~scanf("%d %d", &n, &m)) {init();memset(deg, 0, sizeof(deg));for(int i = 1; i <= m; i++ ) {scanf("%d %d", &u, &v);join(u, v);deg[u]++;deg[v]++;}bool ok = 1;int cnt = 0;for(int i = 1; i <= n; i++) {if(pre[i] == i) {cnt++;}if(deg[i] % 2 != 0) {ok = 0;break;}}if(ok && cnt == 1) {puts("yes");} else {puts("no");}}return 0;
}

E。【C_W_L】的预言

表面数论，其实是图论题。

\[ gcd(a_i,a_j) * gcd(a_i+1, a_j+1)≠1 \]

求一个最大集合满足上式。如果 \(a_i\) , \(a_j\) 符合上式。那么我们连一条边，题意就是要我们就要求该图的最大团。（一个图的点集合任意两个点之间都有边叫团）最大团等于它补图的最大独立集。

如果 \(a_i\), \(a_j\) 符合上式。那么我们连一条边
那么 \(a_i\), \(a_j\) 同奇，同偶的时候必定有边。那么补图一定没边。
所以它的补图是一个二分图。我们求它的最大独立集合即可。

二分图最大独立集，匈牙利，网络流随便来一个。

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
const int MAXN = 555;
typedef long long LL;int n, m, first[MAXN], sign;int links[MAXN], vis[MAXN];LL a[MAXN];struct Edge {int to, w, next;
} edge[MAXN * MAXN];void init() {memset(first, -1, sizeof(first));sign = 0;
}void add_edge(int u, int v, int w) {edge[sign].to = v;edge[sign].w = w;edge[sign].next = first[u];first[u] = sign++;
}int dfs(int x) {for(int i = first[x]; ~i; i = edge[i].next) {int to = edge[i].to;if(!vis[to]) {vis[to] = 1;if(!links[to] || dfs(links[to])) {links[to] = x;return 1;}}}return 0;
}int main()
{while(~scanf("%d", &n)) {init();for(int i = 1; i <= n; i++ ) {scanf("%lld", &a[i]);}for(int i = 1; i <= n; i++ ) {for(int j = 1; j <= n; j++ ) {if(__gcd(a[i], a[j]) == 1 && __gcd(a[i] + 1, a[j] + 1) == 1) {add_edge(i, j, 1);}}}int ans = n;for(int i = 1; i <= n; i++ ) {if(a[i] & 1) {memset(vis, 0, sizeof(vis));ans -= dfs(i);}}printf("%d\n", ans);}return 0;
}