揭开脉冲信号频谱的面纱

在信号处理中，脉冲信号是一种非常重要的信号，在许多的场合都有应用。因此，无论是在信号与系统课程中，还是在数字信号处理课程中，都有大量的篇幅分析脉冲信号时域及频域的特性。

一般人很容易记住的一个结论是脉冲信号与sinc函数互为傅里叶变换对。但是，往往很难记清楚sinc函数的零点在哪里？零点的位置又应该如何理解？

为讨论方便，先假定时域信号是离散的脉冲信号，信号点数N为128点，脉冲宽度M为32点。那么在DFT之后，第一个零点必位于k=N/M=4处，第二个零点必位于k=2*N/M=8处。为什么呢？

根据DFT的定义可知，在某个频率处的幅度值与输入信号和对应频率的正弦信号的相关函数有关。在输入为脉冲信号的情况下，只有当脉冲宽度的总点数等于某个频率正弦信号一个完整周期点数的整数倍时，此时DFT的幅度为零。这是因为正弦函数是一个完备的正交集，正弦信号与单位信号的相关函数为0，也即是说在满足上述条件下，DFT的幅度为0。

回到上面的例子，如果脉冲宽度为32点的话，则当这32点恰好包含的一个完整周期的正弦信号所对应的频率必为第一个零点所对应的频率。这样的话，这个正弦信号的周期必为32*Ts,其中Ts为采样周期。也就是说，其频率为fs/32，其中fs为采样频率。频率间隔为fs/N=fs/128，则fs/32对应的谱线数为（fs/32）/ fs/128=4。如果脉冲宽度内的正弦信号包含了两个完整的周期，即周期为16*Ts，其频率为fs/16，对应的谱线为128/16=8，此时对应的是第二个零点。以此类推，可以很容易知道第三零点位于3*128/32=12,第四零点位于16，等等。

对于连续信号而言，利用连续信号与对应离散信号之间的联系，也可以很容易得到第一个零点位于脉冲宽度的倒数处。这里还需要说明的是，连续情况下与离散情况下sinc函数的表现形式稍有不同，因为离散情况下存在很小的混叠。

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