CF1734E Codeforces Round #822 (Div. 2) Rectangular Congruence
cf传送门
题意
构造一个矩阵 A A A，满足
其中所有 A [ i ] [ i ] A[i][i] A[i][i]已经给定
思路
考虑没有给定对角线的值，构造矩阵
A [ i ] [ j ] = i ∗ j ( m o d n ) A[i][j]=i*j(mod \ n) A[i][j]=i∗j(mod n)
证明：
假设 A [ i ] [ j ] ∗ A [ k ] [ l ] ≡ A [ i ] [ l ] ∗ A [ k ] [ j ] ( m o d n ) A[i][j]*A[k][l]≡A[i][l]*A[k][j](mod\ n) A[i][j]∗A[k][l]≡A[i][l]∗A[k][j](mod n)
∴ i ∗ j + k ∗ l ≡ i ∗ l + k ∗ j ( m o d n ) ∴i*j+k*l≡i*l+k*j(mod\ n) ∴i∗j+k∗l≡i∗l+k∗j(mod n)
∴ i ∗ ( j − l ) ≡ i ∗ l + k ∗ ( j − l ) ( m o d n ) ∴i*(j-l)≡i*l+k*(j-l)(mod\ n) ∴i∗(j−l)≡i∗l+k∗(j−l)(mod n)
∴ i ≡ k ( m o d n ) ∴i≡k(mod\ n) ∴i≡k(mod n)
明显不符合
然后给每行都加上 B [ i ] − A [ i ] [ i ] B[i]-A[i][i] B[i]−A[i][i]即可
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