Codeforces Round #460 (Div. 2): E. Congruence Equation（枚举）

题意：给出a, b, p, x，求有多少个n满足①n*a^n%p==b；②n<=x

思路：先要知道一个很简单的性质：a^n%p的值一定存在循环节（n=0就进入循环），且周期T一定是p-1的约数

然后就好做了，①暴力枚举a^i%p（i从0到p-1）算出每个余数ki，可以得到式子c*ki%p==b

②对于每个ki，用逆元求出c，c = b*(ki对p的逆元)

③如果存在一个n满足n*a^n%p==b，那么很显然n%(p-1)==i 并且n%p==c，最小的n可以用CRT求出

④然后就是一个简单的除法了，对于所有<=x的n的倍数都满足条件

复杂度O(plogp)

#include<stdio.h>
#define LL long long
LL k[1005555];
LL Pow(LL a, LL b, LL p)
{LL ans = 1;while(b){if(b%2)ans = ans*a%p;a = a*a%p;b /= 2;}return ans;
}
int main(void)
{LL a, b, p, x, i, xh, last, c, n, ans;scanf("%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &p, &x);ans = 0, xh = p-1;for(i=0;i<=p-2;i++){k[i] = Pow(a, i, p);c = Pow(k[i], p-2, p)*b%p;n = ((p-1)*(p-1)*c+p*i)%(p*(p-1));ans += (x-n+p*(p-1))/(p*(p-1));}printf("%lld\n", ans);return 0;
}

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