CF1442D Sum 分治背包dp

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题意：
给你nnn个单调不降序列，要从中取kkk个数，每次可以取一个非空序列的第一个元素，并将这个元素从这个序列中删去，问你取的kkk个数得到的最大权值和是多少。

n,k<=3000,n,k<=3000,n,k<=3000,元素总数<=1e6<=1e6<=1e6

题解：
对现在的我来说还是一个挺神仙的题。我觉得我分治水平挺差的，每次见到分治题都会大呼神仙。

暴力做法是背包dp并合并背包，然后显然是O(nk2)O(nk^2)O(nk2)的。然后就没有然后了，应该没法优化了。

首先显然一个序列kkk个以后的元素都没用了，我们就不管了。

这个题首先要发现这个单调不降的性质的用法：对于所有从中选过元素的序列，最终最多有一个序列没有选完。对于任意两个序列，如果在最终方案中他们都没有选完，不妨设这两个序列为a[],b[]a[],b[]a[],b[]，分别选到了a[i]a[i]a[i]和b[j]b[j]b[j]，那么一定有a[i]>=b[j]a[i]>=b[j]a[i]>=b[j]或者a[i]<=b[j]a[i]<=b[j]a[i]<=b[j]，那么我们选较大的那个的后面还没选的若干个来替换小的那个的最后选的这几个，一定会让答案更优，这样直到权值小的那个一个都不选了或者权值大的那个序列全部被选。

有了这个性质之后，我们的想法就是处理出每个序列的权值之和，然后枚举哪个是没全选的序列。

但是很不幸，我们比暴力多发现了一个性质，写出来的东西复杂度却是一样的。

但是这东西好在可以优化。当然就是用我们提到的分治了。

应用典型的思想，我们考虑一个类似线段树的树形分治结构。我们从层数小的向层数大的处理，直到遇到叶节点。
我们递归到一半，然后考虑另一半对这一半的影响。我们的做法是，以先递归到左区间为例，那么我们就先把右区间的每一个序列暴力背包合并，然后递归到左区间，直到区间长度为111，这时候我们就得到了其他每个序列要么全加入，要么全不加入的答案，于是我们当前的这个序列就是可以有剩余的那个。我们枚举这个序列加进去多少个，然后边枚举边维护一个前缀和，然后尝试更新答案即可。对于向右递归，我们也是先暴力将左区间的每一个序列更新背包的dp值即可。

关键在于，分析这么做的复杂度。我们可以发现，对于每个序列，你考虑从根走到这个序列的过程中，每次走向不是它所在的分枝时它会被合并一次，换句话就是每往下一层会用来合并一次，所以用来合并的次数是lognlognlogn的。

注意每次合并之前先清空下一层的dp值。

这样就做完了，复杂度是O(nklogn)O(nklogn)O(nklogn)

好消息是，这个题有代码。
坏消息是，有个我觉得等价的写法，不知道为什么过不了。我觉得等价的写法是我把每个序列的长度截断为它的长度和kkk的minminmin，但是好像错的时候比答案大了，但是我不知道为什么，要是有知道的大佬非常期待您能回答一下（WA test 9）

update:
感谢年糕寿司泡啤酒的帮助。
这里正确性没有问题，但是直接取min会导致读入对不上了。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int n,k,len[3010];
vector<long long> v[3010];
long long s[3010],dp[60][3010],ans;
void solve(int dep,int l,int r)
{if(l==r){long long res=0;ans=max(ans,dp[dep][k]);for(int i=1;i<=min(k,len[l]);++i){res+=v[l][i-1];ans=max(ans,res+dp[dep][k-i]);}return;}int mid=(l+r)>>1;for(int i=0;i<=k;++i)dp[dep+1][i]=dp[dep][i];for(int i=l;i<=mid;++i){for(int j=k;j>=len[i];--j)dp[dep+1][j]=max(dp[dep+1][j-len[i]]+s[i],dp[dep+1][j]);}solve(dep+1,mid+1,r);for(int i=0;i<=k;++i)dp[dep+1][i]=dp[dep][i];for(int i=mid+1;i<=r;++i){for(int j=k;j>=len[i];--j)dp[dep+1][j]=max(dp[dep+1][j-len[i]]+s[i],dp[dep+1][j]);}solve(dep+1,l,mid);
}
int main()
{scanf("%d%d",&n,&k);for(int i=1;i<=n;++i){scanf("%d",&len[i]);for(int j=1;j<=len[i];++j){long long x;scanf("%lld",&x);if(j<=k){v[i].push_back(x);s[i]+=x;}//len[i]=min(len[i],k); //加上这个就会出错}}solve(1,1,n);printf("%lld\n",ans);return 0;
}

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