二项分布 (Binomial Distribution)

假设一个随机变量XXX服从参数为n∈Nn\in\mathbb{N}n∈N和p∈[0,1]p\in [0,1]p∈[0,1]的二项分布, 即X∼B(N,p)X\sim B(N, p)X∼B(N,p), 则XXX的取值为kkk的概率为:
Pr⁡(X=k)=Cnk(1−p)n−kpk\Pr(X=k)=C_n^k(1-p)^{n-k}p^kPr(X=k)=Cnk(1−p)n−kpk
其中k=0,⋯,nk=0, \cdots, nk=0,⋯,n

Pr⁡(X=k)\Pr(X=k)Pr(X=k)的含义为, 我们掷一枚硬币, 每次正面朝上的概率为ppp; 我们掷这枚硬币的nnn次中, 正面朝上的次数为kkk次的概率.

μ=E(X)=∑k=0nk⋅Pr⁡(X=k)\mu = E(X) = \sum_{k = 0}^nk\cdot\Pr(X=k)μ=E(X)=∑k=0nk⋅Pr(X=k)
=∑k=0nk⋅n!(n−k)!k!⋅(1−p)n−kpk= \sum_{k = 0}^nk\cdot\frac{n!}{(n-k)!k!}\cdot(1-p)^{n-k}p^k=∑k=0nk⋅(n−k)!k!n!⋅(1−p)n−kpk
=n∑k=1n(n−1)!(n−k)!(k−1)!⋅(1−p)n−kpk= n\sum_{k=1}^n\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}\cdot(1-p)^{n - k}p^k=n∑k=1n(n−k)!(k−1)!(n−1)!⋅(1−p)n−kpk
=n∑k=0n−1(n−1)!(n−k−1)!k!⋅(1−p)n−k−1pk+1= n\sum_{k = 0}^{n-1}\frac{(n-1)!}{(n-k-1)!k!}\cdot(1-p)^{n-k-1}p^{k + 1}=n∑k=0n−1(n−k−1)!k!(n−1)!⋅(1−p)n−k−1pk+1
=np∑k=0n−1(n−1)!((n−1)−k)!k!⋅(1−p)(n−1)−kpk= np\sum_{k = 0}^{n-1}\frac{(n-1)!}{((n-1)-k)!k!}\cdot(1-p)^{(n-1)-k}p^k=np∑k=0n−1((n−1)−k)!k!(n−1)!⋅(1−p)(n−1)−kpk
=np∑k=0n−1Ckn−1(1−p)(n−1)−kpk= np\sum_{k=0}^{n-1}C_{k}^{n-1}(1-p)^{(n-1)-k}p^k=np∑k=0n−1Ckn−1(1−p)(n−1)−kpk
=np= np=np

E(X2)=∑k=0nk2⋅Pr⁡(X=k)E(X^2) = \sum_{k= 0}^nk^2\cdot\Pr(X=k)E(X2)=∑k=0nk2⋅Pr(X=k)
=∑k=0nk2⋅n!(n−k)!k!⋅(1−p)n−kpk= \sum_{k = 0}^nk^2\cdot\frac{n!}{(n-k)!k!}\cdot(1-p)^{n-k}p^k=∑k=0nk2⋅(n−k)!k!n!⋅(1−p)n−kpk
=∑k=0nk(k−1)n!(n−k)!k!(1−p)n−kpk+∑k=0nkn!(n−k)!k!(1−p)n−kpk= \sum_{k=0}^nk(k-1)\frac{n!}{(n-k)!k!}(1-p)^{n-k}p^k + \sum_{k=0}^nk\frac{n!}{(n-k)!k!}(1-p)^{n-k}p^k=∑k=0nk(k−1)(n−k)!k!n!(1−p)n−kpk+∑k=0nk(n−k)!k!n!(1−p)n−kpk
=∑k=0nk(k−1)n!(n−k)!k!(1−p)n−kpk+E(X)= \sum_{k=0}^nk(k-1)\frac{n!}{(n-k)!k!}(1-p)^{n-k}p^k + E(X)=∑k=0nk(k−1)(n−k)!k!n!(1−p)n−kpk+E(X)
=∑k=2nn!(n−k)!(k−2)(1−p)n−kpk+E(X)= \sum_{k=2}^n\frac{n!}{(n-k)!(k-2)}(1-p)^{n-k}p^k + E(X)=∑k=2n(n−k)!(k−2)n!(1−p)n−kpk+E(X)
=n(n−1)∑k=0n−2n−2(n−k−2)!k!(1−p)n−k−2pk+2+E(X)= n(n-1)\sum_{k=0}^{n-2}\frac{n-2}{(n-k-2)!k!}(1-p)^{n-k-2}p^{k+2} + E(X)=n(n−1)∑k=0n−2(n−k−2)!k!n−2(1−p)n−k−2pk+2+E(X)
=n(n−1)p2∑k=0nCkn−2(1−p)(n−2)−kpk+E(X)= n(n-1)p^2\sum_{k=0}^nC_{k}^{n-2}(1-p)^{(n-2)-k}p^k + E(X)=n(n−1)p2∑k=0nCkn−2(1−p)(n−2)−kpk+E(X)
=n(n−1)p2+np= n(n-1)p^2 + np=n(n−1)p2+np

σ2=Var(X)\sigma^2=Var(X)σ2=Var(X)
=E((X−μ)2)= E((X-\mu)^2)=E((X−μ)2)
=E(X2−2μX+μ2)= E(X^2 - 2\mu X + \mu^2)=E(X2−2μX+μ2)
=E(X2)−μ2= E(X^2) - \mu^2=E(X2)−μ2
=n(n−1)p2+np−(np)2= n(n-1)p^2 + np -(np)^2=n(n−1)p2+np−(np)2
=np(1−p)= np(1-p)=np(1−p)

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