神经网络和深度学习（二）——一个简单的手写数字分类网络

本文转自：https://blog.csdn.net/qq_31192383/article/details/77198870

一个简单的手写数字分类网络

接上一篇文章，我们定义了神经网络，现在我们开始手写体的识别。我们可以将识别手写数字这个问题划分为两个子问题，一，我们需要将一幅包含了许多数字的图像分解为一系列独立的图像，每一幅图像包含了一个数字。比如，我们需要把下图分解：

将该图分解为6幅独立的图像：
我们人可以很轻松的将其分开，但是计算机可不那么认为。一旦图片被分割后，程序需要将每个数字单独识别。因此，举个例子，我们想要我们的程序可以识别上图中的第一个数字为5。

这里我们致力于解决第二个问题，就是对单一数字的分类。因为对于第一个分割问题，这里有许多方法可以解决了。因此，与其关⼼分割问题，我们不如把精⼒集中在设计⼀个神经⽹络来解决更有趣、更困难的问题，即⼿写数字的识别。

为了识别单个数字，我们将用到三层神经网络：

网络的输入层包含了对输入像素值编码的神经元。正如后面讨论的，我们的训练数据有许多28X28的手写数字的像素图组成，也就是说我们的输入层包含了28X28=784个神经元，一个神经元对应一个像素位的值。输入的像素值为灰度值，0.0表示白色，1.0表示黑色，0到1之间的值表示不同程度的灰色。

网络的第二层为隐藏层，我们记隐藏层的神经元数量为n，我们将对n的取值进行实验。这个图例中展示了一个小的隐藏层，它的隐藏层只有15个。

网络的输出层包含了10个神经元。如果第一个神经元被激活，也就是输出值无限接近1，那么我们可以认为这个网络识别出来的数字是0.如果是第二个神经元激活，那么识别出来的数字为1。更准确的说，我们将对输出神经元从0到9编号，然后找出激活值最高的神经元。如果编号为6的神经元激活值最高，那么我们认为输入的数字为6。

这里使用是个输出神经元很现实是为了对应输出的十种可能性。一种看起来更自然的方法是使用4个输出神经元，每一个神经元看作一个二进制数，结果取决于改神经元输出更靠近0还是更靠近1。4个输出神经元对于10个数字来说已经足够了，毕竟24=1624=16是大于10的。那为什么我们选择使用是个输出的神经元而不是看起来更方便简洁的4个神经元呢？经验告诉我们：通过对两种设计的实验对比，是个输出的神经元比4个输出的神经元更加准确的识别数字。但这是为什么呢？有没有什么启发性的方法可以告诉提前告诉我们使用10个输出神经元比使用4个效果要更好。

为了理解为什么要这样做，了解神经网络的工作的基本原理是很有帮助的。首先考虑我们使用10个输出神经的情况。让我们把目光放在第一个输出神经上，该神经决定了是否该数字是0。它是通过权衡隐藏层所输出的信息做出判断的。那么隐藏层的神经元做了些什么呢？假设隐藏层的第一个神经元是为了检测图像中是否存在如下图形:

它是通过对输入图像中与该图形重合的像素赋予很大的权值，而其他部分赋予很小的权值来判断的。以同样的方式，我们假设第二个第三个第四个神经元分别是为了探测图像中是否存在以下图形：
可能你已经看出来上面四个图形可以组成数字0：

因此，如果隐藏层的这四个神经元都被激活，那么我们可以认为这个图像上的数字是0。当然这不是我们用来推断数字为0的唯一组合，我们可以通过诸多图形组合得到0(比如将上图进行扭曲变形，但它还是0)。但至少在这个例子中，我们可以推断出输入数字是0。

如果神经网络是这样工作的，那么我们似乎可以给出一个对为什么使用10个输出神经而不是4个这件事一个合理的解释。如果是4个输出神经元，那么，我们的第一个输出神经元将用于判断该数字对应二进制的最高有效位是什么，然而，我们很难将图形和数字的最高有效位对应起来。

上面说了这么多都只是一个启发性的方法，没人说三层神经网络必须按照我上面所说的方式去工作，即每个隐藏层的神经元去探测一个简单的图像组成部分。也许一些聪明的学习算法会找到一些权重分配让我们使用4个输出神经元。但是作为一种启发，我所描述的方法可以工作的很好，这可以让你节省许多时间在设计神经网络的结构上。

使用梯度下降算法进行学习

现在我们已经设计出了一个神经网络，那么我们如何使用它去学习识别数字呢。首先，我们需要一个数据集去学习，我们使用的是MNIST数据集，它包含了数以万计的手写数字的扫描图像，以及他们的正确分类。下图是取值MNIST的几个图像：

正如你所见，这些数字和上一篇文章的数字是一样，当然我们需要我们的网络可以识别不在数据集中的图像。

MNIST数据集包含两个部分，第一个部分包含了60000张图片被用作训练数据。这些通过扫面250个人的手写数字获得，其中有些是美国人口普查局的员工，有些是高中生。这些图像是28X28的灰度图。数据集的第二部分是10000张图片被用来测试，与训练数据的格式一样。我们将使用测试数据衡量我们的神经网络学习得怎么样。当然第二部分的图片是另外250个人的手写样本，这有可以让我们证实网络可以识别不在训练集中的人的手写数字。

其中w记为网络中的所有权重的集合，b为所有的偏差，n是所有训练输入的数量，a是当输入向量为x时网络的输出向量，并且对所有的输入x进行计算并求和。的确，输出a依赖于输入x、w和bx、w和b，但是为了简介，我并没用使用axi这样的符号。符号||v||表示的是向量vv的长度(模)。我们把C称为二次代价函数，有时也被称为均方误差或者MSE。观察二次代价函数，我们可以发现C(w,b)是非负的。此外，对于所有的xx，当y(x)接近于a时，C(w,b)的值是很小的，也就是C(w,b)≈0，因此我们的训练算法需要能够找到合适的权重和偏差，使得C(w,b)≈0。相反，如果C(w,b)的值很大，就说明有大量的y(x)和a相差很大，这是不好的。因此我们的训练算法目标是要能够找到最小化代价函数C(w,b)的权重和偏差。换句话说，我们需要找到一组权重和偏差，使得代价最小，下面我们将使用梯度下降算法来达到目标。

为什么要介绍二次代价函数？我们不应该关注于图像的正确分类的数量上面吗？为什么不尝试直接最大化正确分类的数量而是要使用最小化一个二次代价函数来简介评测呢？这是因为正确分类图像的数量对于权重和偏差来说不是一个平滑的函数，那么在大多数情况下，对权重和偏差的微小改变不会造成目标函数即正确分类数量的值的改变，这让我们很难找到通过改变权重和偏差提高性能的方法。如果我们使用一个像二次代价函数这样的平滑函数，那将很容易找到通过改变权重和偏差来提高性能的方法。这就是我们为什么专注于最小化二次代价，因为只有这样，我们才能测试分类的准确性。

那么可能你又会好奇为什么要选择式(6)那样的二次函数来作为平滑函数呢?这时临时想出来的么？可能如果我们选择另外一个不一样的代价函数，我们将会得到不同的代价最小时的权重和偏差。这个疑问是有必要的，稍后我将对上面的成本函数再次进行讨论，并作一些修改。然而式(6)中的代价函数对于我们理解神经网络的基础很有帮助，所以我们将一直使用它。

重申一次，我们的目标是训练一个神经网络，找到权重和偏差使得二次代价函数C(w,x)最小化。这个目标没毛病，但是，现在有许多让我们分散精力的东西——对权重w和偏差b的解释，难以弄清的σ函数，网络架构的选择，MNIST等等。其实我们可以通过忽略上述这些中的绝大部分，仅仅考虑最小化这一点来理解这些东西。现在，我们打算忘掉代价函数的具体形式，神经网络的组成等等。现在我们只专注于最小化一个给定的多元函数。我们将学习一种用于最小化问题的梯度下降算法，然后再回到我们想要最小化神经网络的特定函数上去。

OK，现在假设我们尝试最小化某些函数，C(v)，它可能是任意的多元实数函数，v=v1,v2,…。注意到我将使用vv代替前面的w和b，因为我们刚说过我们不再特定研究神经网络代价函数的最小化问题上，而是任意的函数。我们先假设C是只有两个变量的函数，我们称为v1和v2：

我们想要找到使CC达到全局最小的位置。现在对于上述的图像中，我们可以很容易的找到全局最小值。从某种意义上说，我可能展示了一个过于简单的函数。通常函数CC是一个拥有许多变量的复杂的函数，并且将不可能通过肉眼一下找到它的全局最小值。

解决这个问题的一种方法是使用微积分的方法。我们将计算函数CC的导数来寻找它的极值点。运气好的话函数可能只有一个或者几个变量，但是一旦变量过多那将很麻烦。尤其是神经网络中，往往拥有数亿计的权重和偏差，微积分的方法将不再有效。

现在微积分是不能解决最小值的问题了。幸运的是，有一种漂亮的推导法暗示有一种算法可以很好的解决问题。首先我们把函数想象成山谷，向上面那幅图画一样。然后我们假设有一个球从山谷上沿斜坡滚下，常识告诉我们这颗球会滚落到山谷底部。也许我们可以使用这样一个想法去寻找函数的最小值。开始我们把球随机放置在一个位置，然后模拟球从该点滚落到谷底这一过程。我们可以通过计算C的导数(和一些二阶导数)来简单模拟——这些导数将告诉我们这个山谷的一切局部形状，然后我们就知道这个球该怎么滚落了。

说了这么多，你可能会以为接下来我将介绍牛顿定理，摩擦力和重力对球体的影响。事实上，我们只是做了一个假设，并不是真的要用这个球的运动来寻找最小值。提到球只是用来激发我们的想象力，而不是束缚我们的思维。因此与其陷进物理学⾥凌乱的细节，不如我们就这样问⾃⼰：如果我们扮演⼀天的上帝，能够构造⾃⼰的物理定律，能够⽀配球体可以如何滚动，那么我们将会采取什么样的运动学定律来让球体能够总是滚落到⾕底呢？

为了使这个问题更明确，让我们讨论当我们将球在v1方向上移动Δv1，在v2方向上移动Δv2。微积分告诉我们C的改变量为：

注意到梯度下降规则并不满足真实的物理规则。在真实世界中，球有动量，动量可能允许它偏移斜坡，甚至向上滚。只有在摩擦力的影响下它才可能滚到山谷。相比之下，我们选择Δv规则就像在说”只能往下滚！这是一个好的方法去寻找最小值。

为了使梯度下降正确地工作，我们需要选择一个足够小的学习速率η，使得等式(9)可以很好的近似。如果不这样，我们可能将会以ΔC>0结束，这显然是不好的。同样，我们又不希望η太小，这样会使的Δv变化太小，梯度下降算法就会下降得特别慢。在实际实现中，η通常是变化的，这使得等式(9)能够保持很好的近似度，同时算法又不会太慢。稍后我们将看到它如何工作。

你可以认为这个更新规则就是我们的梯度下降算法。它提供了重复改变位置vv来使得函数CC取最小值的方法。这个规则并不总是有效的，它有时候也会出错并使得我们无法通过梯度下降来寻找CC的最小值，后面我们将讨论这个问题。但是，实际使用中，梯度下降往往工作的很好，并且发现它是在神经网络中寻找代价函数最小值的好方法，对网络的学习很有用。

通过迭代使用这个更新规则，我们可以“滚下山谷”,找到期望的最小的代价函数。换句话说，这个规则可以用来学习神经网络。

其中两个求和符号是在随机选取的小批量的训练样本上进行的。然后我们使用另一组随机的训练样本去训练，以此类推，直到我们用完了所有的训练输入，这样被称为一个训练迭代期。然后我们会开始一个新的训练迭代期。
另外，对于改变代价函数的参数，和⽤于计算权重和偏置的⼩批量数据的更新规则，会有不同的约定。在等式(6)中，我们通过因子1/n来改变整个代价函数的大小，人们有时候忽略1/n，对单个训练样本的代价求和而不是平均。这对我们提前不知道训练样本总数的时候特别有效，比如学习数据是实时产生的。同样，在式子(20)(21)中的1/m也可以舍去。但是需要注意的是，这样会导致学习速率的改变，对不同工作进行对比时，需要注意是求平均还是求和。

实现我们的数字分类网络

现在我们准备开始用代码通过随机梯度下降和MNIST训练集实现我们的识别网络。我们将使用python(2.7)来实现，仅仅74行代码！首先我们需要获得MNIST数据集，如果你使用git，你可以通过克隆代码库来获取：
git clone https://github.com/mnielsen/neural-networks-and-deep-learning.git
如果你不使用git也可以点击这里来获取数据和源码。

顺便提一下，之前我说MNIST数据集被分成了60000个训练图像和10000个测试图像，那是官方的描述。事实，我们将对这些数据做一些不同的划分。我们将对60000个MNIST训练集分成两部分，其中50000作为训练集，另外10000作为检验集。在这里我们先不会使用检验数据，但是在后面我们将会发现它对于神经网络中一些如学习速率这样的超参数的设置很有用，这些超参数不是学习算法所决定的。景观验证数据不是原始MNIST的规范，但是许多人都这样使用MNIST数据集，并且在神经网络中使用验证数据是很普遍的。从现在开始我们提到的MNIST训练数据指的是50000张训练图像而不是原始的60000张图像。

除了MNIST数据集以外，我们还需要python中的Numpy包，用于快速线性代数运算。

在列出一个完整的代码清单之前，让我先解释一下神经网络代码的核心特性。核心是一个Network类，用来表示神经网络，下面是初始化网络Network类的代码：

class Network(object):def __init__(self, sizes):self.num_layers = len(sizes)self.sizes = sizesself.biases = [np.random.randn(y, 1) for y in sizes[1:]]self.weights = [np.random.randn(y, x) for x, y in zip(sizes[:-1], sizes[1:])]

在这个代码中，list对象sizes包含了各层中神经元的数量。比如，你想创建一个第一层有2个神经元，第二层3个神经元，第三次1个神经元的网络，你可以这样创建类对象：

net = Network([2, 3, 1])

网络对象中的偏差和权重是初始化为随机值，使用Numpy包中的np.random.randn函数来产生均值为0，标准差为1的⾼斯分布。这个随机初始化也就是我们使用随机梯度下降算法的一个起点。后面我们将讨论其他初始化权重和偏差的方法。注意，Network初始化代码中是假定第一层为输入层的，并且对这些神经元不设置任何偏差，因为偏差仅仅被用于后面层输出的计算。

另外偏差和权重以Numpy矩阵列表的形式存储。因此，net.weights[1]是一个存储着链接第二层和第三层神经元权重矩阵。由于net.weights[1]写起来很冗长，我们就用ww表示这个矩阵。也就是wjkwjk表示的是第二次的第k个神经元和第三层的第j个神经元之间的权重。那么第三层神经元的激活向量为：

def sigmoid(z):return 1.0/(1.0+np.exp(-z))

注意到当参数z是一个向量或者Numpy数组时，Numpy自动的对向量中每一个元素应用sigmoid函数。

让后我们添加feedforward方法在Network类中，它对于网络给定输入a,返回对应的输出，这个方法是对每一层应用方程（22）:

 def feedforward(self, a):"""Return the output of the network if "a" is input."""for b, w in zip(self.biases, self.weights):a = sigmoid(np.dot(w, a)+b)return a

的确，我们想要Network对象做的主要事情是学习。我们用SGD函数来实现随机梯度下降算法。下面是代码，有些地方比较神秘，我会在代码后面逐个分析。

def SGD(self, training_data, epochs, mini_batch_size, eta,test_data=None):"""Train the neural network using mini-batch stochasticgradient descent.  The "training_data" is a list of tuples"(x, y)" representing the training inputs and the desiredoutputs.  The other non-optional parameters areself-explanatory.  If "test_data" is provided then thenetwork will be evaluated against the test data after eachepoch, and partial progress printed out.  This is useful fortracking progress, but slows things down substantially."""if test_data: n_test = len(test_data)n = len(training_data)for j in xrange(epochs):random.shuffle(training_data)mini_batches = [training_data[k:k+mini_batch_size]for k in xrange(0, n, mini_batch_size)]for mini_batch in mini_batches:self.update_mini_batch(mini_batch, eta)if test_data:print "Epoch {0}: {1} / {2}".format(j, self.evaluate(test_data), n_test)else:print "Epoch {0} complete".format(j)

training_data 是⼀个 (x, y) 元组的列表，表⽰训练输⼊和其对应的期望输出。变量 epochs 和mini_batch_size 正如你预料的 —— 迭代期数量，和采样时的⼩批量数据的⼤⼩。eta 是学习速率，η。如果给出了可选参数 test_data，那么程序会在每个训练器后评估⽹络，并打印出部分进展。这对于追踪进度很有⽤，但相当拖慢执⾏速度。

update_mini_batch代码如下。在每一次迭代期，先随机排列训练样本，然后将它分成适当大小的小批量数据。这是一个简单的从训练样本随机采样的数据。然后对每一个小批量数据应用一次梯度下降。它仅仅使⽤ mini_batch 中的训练数据，根据单次梯度下降的迭代更新⽹络的权重和偏置：

  def update_mini_batch(self, mini_batch, eta):"""Update the network's weights and biases by applyinggradient descent using backpropagation to a single mini batch.The "mini_batch" is a list of tuples "(x, y)", and "eta"is the learning rate."""nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights]for x, y in mini_batch:delta_nabla_b, delta_nabla_w = self.backprop(x, y)nabla_b = [nb+dnb for nb, dnb in zip(nabla_b, delta_nabla_b)]nabla_w = [nw+dnw for nw, dnw in zip(nabla_w, delta_nabla_w)]self.weights = [w-(eta/len(mini_batch))*nw for w, nw in zip(self.weights, nabla_w)]self.biases = [b-(eta/len(mini_batch))*nb for b, nb in zip(self.biases, nabla_b)]

大部分的工作有下面这行代码完成：
delta_nabla_b, delta_nabla_w = self.backprop(x, y)

这行调用了一个称为反向传播的算法，可以快速的计算代价函数的梯度。因此update_mini_batch 的⼯作仅仅是对 mini_batch 中的每⼀个训练样本计算梯度，然后适当地更新 self.weights 和 self.biases。

我现在不会列出 self.backprop 的代码。我们将在后面学习反向传播是怎样⼯作的，包括self.backprop 的代码。现在，就假设它按照我们要求的⼯作，返回与训练样本 x x相关代价的适当梯度。
测试：

首先创建三个py文件，第一个用来读取数据，第二个用来学习，第三个就是调用上面两个文件中的函数。
源码下载地址： https://download.csdn.net/download/qq_31192383/9940373
可以看到参数选取为：
即迭代30次，小批量数据大小为3，学习速率为3.0时的准确率如图：

准确率达到了94.67%。

我们还可以通过自己生成一张手写数字的图片，测试一下结果，下面的图片是我通过画板自己画的：

我们可以通过改变神经网络隐藏层的神经元数量，或者学习速率，或者小批量数据大小来改变识别准确率。这些参数的选取，调试都是神经网络构造过程中重要的步骤。后面将会继续学习，下一篇文章将会讲到上面没有解释的backprop()函数，即反向传播算法。

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