射影变换与仿射变换、透视变换(射影既透视,包含了Z轴的信息)
图像处理的仿射变换和透视变换(射影既透视,包含了Z轴的信息)
其实一直也没理解“仿射”俩字是啥意思,但是大家都这么叫,其实仿射变换和透视变换更直观的叫法可以叫做“平面变换”和“空间变换”或者“二维坐标变换”和“三维坐标变换”。如果这么命名的话,其实很显然,这俩是一回事,只不过一个是二维坐标(x,y),一个是三维坐标(x,y,z)。也就是:
仿射变换:
透视变换:
从另一个角度也能说明三维变换和二维变换的意思,仿射变换的方程组有6个未知数,所以要求解就需要找到3组映射点,三个点刚好确定一个平面。透视变换的方程组有8个未知数,所以要求解就需要找到4组映射点,四个点就刚好确定了一个三维空间。
射变换主要包括平移变换、旋转变换、缩放变换(也叫尺度变换)、倾斜变换(也叫错切变换、剪切变换、偏移变换)、翻转变换。有六个自由度
仿射变换保持二维图形的“平直性”和“平行性”,但是角度会改变。
“平直性”:变换后直线还是直线、圆弧还是圆弧
“平行性”:平行线还是平行线,直线上点的位置顺序不变
数学公式如下:
射影变换:是最一般的线性变换。有8个自由度。
射影变换保持重合关系和交比不变。但不会保持平行性。
如下图所示:
数学公式如下:
参考: http://blog.csdn.net/kinbosong/article/details/64923831
http://blog.sina.com.cn/s/blog_90cf580001013oc4.html
http://blog.csdn.net/u014096352/article/details/53526747
https://zhidao.baidu.com/question/189639914.html
刚性变换
这里先提一下一种很一般的变换,刚性变换。刚性变换:只有物体的位置(平移变换)和朝向(旋转变换)发生改变,而形状不变,得到的变换称为刚性变换。
仿射变换 (affine transformation)
仿射变换和射影变换的区别
射影变换组成了一个群,这个群被称为射影变换群,n×n可逆实矩阵称为一般线性群GL(n),当把相差非零纯量因子的矩阵都视为等同时,便得到射影映射群,记为PL(n)。在平面,射影变换为PL(3)。
射影变换在平面的变换矩阵形式如下,也就是一个3×3的矩阵。
其中当上面矩阵的最后一行为(0,0,1)时的变换就为仿射变换,在仿射的前提下,当左上角2×2矩阵正交时为欧式变换,左上角矩阵行列式为1时为定向欧式变换。所以射影变换包含仿射变换,而仿射变换包含欧式变换。
至此我们得到了射影变换和仿射变换的关系。
解析变换矩阵
我们将上面的矩阵分成几个部分,如下:
其中大矩形中的4个元素组成的整体表示线性变换,比如scaling(尺度),shearing(剪切)和ratotion(旋转);椭圆部分表示平移的参数,一个确定在x方向上的平移一个确定在y方向上的平移;小矩形部分用于产生透视变换。从这里所以可以理解成仿射等是透视变换的特殊形式。
仿射变换的组成
仿射变换主要包括平移变换、旋转变换、缩放变换(也叫尺度变换)、倾斜变换(也叫错切变换、剪切变换、偏移变换)有六个自由度。
下面具体展示一下各个变换的变换矩阵的形式:
仿射变换的特点
仿射变换保持二维图形的“平直性”和“平行性”,但是角度会改变。
“平直性”:变换后直线还是直线、圆弧还是圆弧。
“平行性”:平行线还是平行线,直线上点的位置顺序不变。
它有6个自由度,即旋转4个,也就是前述大矩形的4个元素都可以同时改变,x方向平移,y方向平移。它能保持平行性,不能保持垂直性,Image中各部分变换前后面积比保持不变,共线线段或者平行线段的长度比保持不变,矢量的线性组合不变。
射影变换(projective transformation)
在这里需要明晰一下的是,透视变换(Perspective Transformation)也称作投影变换(Projective Transformation)、射影变换。
射影变换:是最一般的线性变换。有8个自由度。
射影变换保持重合关系和交比不变。但不会保持平行性。即它会使得仿射变换产生非线性效应。
其他的一些变换
在介绍了仿射变换之后其实我们就应该可以接受更多的变换,但限于本文的主旨是要辨析仿射变换和射影变换之间的关系,所以将该小节的东西放在最后。
等距变换
等距变换相当于是平移变换和旋转变换的复合,用R表示变换矩阵,即为
左上角2×2矩阵为旋转部分,tx和ty为平移因子,它有三个自由度,即旋转,x方向平移,y方向平移。等距变换前后长度,面积,线段之间的夹角都不变。
相似变换
相似变换相当于是等距变换和均匀缩放的一个复合,用S表示变换矩阵,即为
左上角2×2矩阵为旋转部分,tx和ty为平移因子,它有4个自由度,即旋转,x方向平移,y方向平移和缩放因子s。相似变换前后长度比,夹角,虚圆点I,J保持不变。相似变换其实与相似三角形之间是有类似的。
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