例9    生理周期

问题描述

人生来就有三个生理周期，分别为体力、感情和智力周期，它们的周期长度为 23 天、28 天和33 天。每一个周期中有一天是高峰。在高峰这天，人会在相应的方面表现出色。例如，智力周期的高峰，人会思维敏捷，精力容易高度集中。因为三个周期的周长不同，所以通常三个周期的高峰不会落在同一天。对于每个人，我们想知道何时三个高峰落在同一天。

对于每个周期，我们会给出从当前年份的第一天开始，到出现高峰的天数(不一定是第一次高峰出现的时间)。你的任务是给定一个从当年第一天开始数的天数，输出从给定时间开始(不包括给定时间)下一次三个高峰落在同一天的时间(距给定时间的天数)。例如：给定时间为10，下次出现三个高峰同天的时间是12，则输出2(注意这里不是3)。

输入数据

输入四个整数：p, e, i 和d。 p, e, i 分别表示体力、情感和智力高峰出现的时间(时间从当年的第一天开始计算)。d 是给定的时间，可能小于p, e, 或 i。 所有给定时间是非负的并且小于365, 所求的时间小于等于21252。

输出要求

从给定时间起，下一次三个高峰同天的时间(距离给定时间的天数)。

输入样例

0 0 0 0

0 0 0 100

5 20 34 325

4 5 6 7

283 102 23 320

-1 -1 -1 -1

输出样例

case 1: the next triple peak occurs in 21252 days.

case 2: the next triple peak occurs in 21152 days.

case 3: the next triple peak occurs in 19575 days.

case 4: the next triple peak occurs in 16994 days.

case 5: the next triple peak occurs in 8910 days.

(1)编程思路1。

假设从当年的第一天开始数，第k 天时三个高峰同时出现。符合问题要求的k必须大于d、小于等于21252(23×28×33)，并满足下列三个条件：

1)(k-p) % 23 == 0

2)(k-e) % 28 == 0

3)(k-i) % 33 == 0

对区间[d+1，21252]中的每个k都进行三个条件的判断，若同时满足三个条件，则k就是所求。

(2)源程序1。

#include

int main()

{

int p,e,i,d,caseno = 0,k;

while(scanf("%d%d%d%d",&p,&e,&i,&d) &&p!=-1)

{

++caseno;

for(k = d+1;(k-p)%23!=0 || (k-e)%28!=0|| (k-i)%33!=0; k++);

printf("case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n",caseno,k-d);

}

return 0;

}

(3)编程思路2。

思路1中对区间[d+1，21252]中的每个k都进行三个条件的判断，开销很大，可以进行优化。

具体优化办法是：先从区间[d+1，21252]中找到第一个满足条件1)的体力高峰出现的时间k1，然后从k1、k1+23、k1+2*23、k1+3*23…这些时间中寻找第一个满足条件2)的情感高峰出现的时间k2，当然它也一定是体力高峰出现的时间；最后在k2、k2+23*28、k1+2*23*28、k1+3*23*28…这些时间中寻找第一个满足条件3)的时间k3。则k3-d就是所求的答案。

(4)源程序2。

#include

int main()

{

int p,e,i,d,caseno = 0,k;

while(scanf("%d%d%d%d",&p,&e,&i,&d) &&p!=-1)

{

++caseno;

for(k = d+1;(k-p)%23;k++);     // 枚举体力高峰

while ((k-e)%28!=0)  k+=23;     // 枚举情感高峰

while ((k-i)%33!=0)  k+=23*28;  // 找到三高峰

printf("case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n",caseno,k-d);

}

return 0;

}

习题9

9-1  硬币方案

问题描述

有50枚硬币，可能包括4种类型：1元、5角、1角和5分。

已知50枚硬币的总价值为20元，求各种硬币的数量。

例如：2、34、6、8就是一种方案。而2、33、15、0是另一个可能的方案，显然方案不唯一。

编写程序求出类似这样的不同的方案一共有多少种？

输入数据

无

输出要求

所有可能的方案，输出格式见输出样例。

输入样例

无输入

输出样例

1: 0 , 38 , 8 , 4

2: 1 , 36 , 7 , 6

3: 2 , 33 , 15 , 0

……

(1)编程思路。

直接对四种类型的硬币的个数进行穷举。其中，1元最多20枚、5角最多40枚、1角最多50枚、5分最多50枚。

另外，如果以元为单位，则5角、1角、5分会化成浮点型数据，容易计算出错。可以将1元、5角、1角、5分变成100分、50分、10分和5分，从而全部采用整型数据处理。

(2)源程序。

#include

int main()

{

int a,b,c,d,cnt=0;

for(a=0;a<=20;a++)

for(b=0;b<=40;b++)

for(c=0;c<=50;c++)

for(d=0;d<=50;d++)

{

if(a*100+b*50+c*10+d*5==2000 && a+b+c+d==50)

{

printf("%d: %d , %d , %d , %d\n",++cnt,a,b,c,d);

}

}

return 0;

}

(3)穷举优化。

上面的程序采用穷举法求解，比较简单。但在穷举结构的设置、穷举参数的选取等方面存在着改进与优化的空间。

一般来说，在采用穷举法进行问题求解时，可从两个方面来优化考虑。

1)建立简洁的数学模型。

数学模型中变量的数量要尽量少，它们之间相互独立。这样问题解的搜索空间的维度就小。反应到程序代码中，循环嵌套的层次就少。例如，上面的程序中，采用变量a、b、c、d分别表示1元、5角、1角和5分硬币的枚数，对这4个变量穷举，循环层次为4层。实际上这4个变量彼此间有两个条件在约束，或者枚数等于50，或者总价值为20元。因此，可以只穷举3个变量，另外一个变量通过约束条件求出，从而将循环层次减少为3层。

2)减小搜索的空间。

利用已有的知识，缩小数学模型中各个变量的取值范围，避免不必要的计算。反应到程序代码中，循环体被执行的次数就减少。例如，在穷举时，先考虑1元的枚数a，最多为20枚(即0<=a<=20)，再考虑5角的枚数b，若采用总价值不超过20元约束，则其枚数最多为(2000-a*100)/50枚(即0<=b<=(2000-a*100)/50)，之后考虑1角的枚数c，其枚数最多为 (2000-a*100-b*50)/10(即0<=c<=(2000-a*100-b*50)/10)。这样穷举的循环次数会大大减少。

采用上述思路优化后的源程序如下。

#include

int main()

{

int a,b,c,d,cnt=0;

for(a=0;a<=20;a++)

for(b=0;b<=(2000-a*100)/50;b++)

for(c=0;c<=(2000-a*100-b*50)/10;c++)

{

d=(2000-a*100-b*50-c*10)/5;    // 剩下的用5分硬币填充

if(a+b+c+d==50)

{

printf("%d: %d , %d , %d , %d\n",++cnt,a,b,c,d);

}

}

return 0;

}

也可以采用总枚数不超过50枚约束。先考虑1元的枚数a，最多为20枚(即0<=a<=20)，再考虑5角的枚数b，则其枚数最多为(50-a)枚(即0<=b<=(50-a)，之后考虑1角的枚数c，其枚数最多为 (50-a-b)枚(即0<=c<=50-a-b)。采用这种思路优化后的源程序如下。

#include

int main()

{

int a,b,c,d,cnt=0;

for(a=0;a<=20;a++)

for(b=0;b<=50-a;b++)

for(c=0;c<=50-a-b;c++)

{

d=50-a-b-c;    // 剩下的用5分硬币填充

if(100*a+50*b+10*c+5*d==2000)

{

printf("%d: %d , %d , %d , %d\n",++cnt,a,b,c,d);

}

}

return 0;

}

9-2  和积三角形

问题描述

把和为正整数s的8个互不相等的正整数填入8数字三角形(如图1所示)中，若三角形三边上的数字之和相等且三边上的数字之积也相等，该三角形称为和积三角形。

图1  数字三角形

例如，和为45的和积三角形如图2所示。

图2  s=45的和积三角形

编写一个程序，输出和为s的和积三角形。

输入数据

一个正整数s(36≤s≤300)。

输出要求

所有和为s的和积三角形，要求输出的方案不重复。如图2中，8和9交换，或4和3交换，或同时交换9与4、8和3、2和12，所得到的3种方案均视为与图2给出的方案是同一种方案。

输入样例

45

输出样例

1：2 , 8 , 9 , 1 , 4 , 3 , 12 , 6 ,   s1=20, s2=144

说明

对照图2的数据，注意体会样例中8个数的输出顺序，另外是s1的值代表各边上整数的和，s2的值代表各边上整数的积。

(1)编程思路。

按输出样例的说明，设图1所示的数字三角形的8个数分布如下图3所示。

因为三角形的两个腰可以互相交换，为避免重复，不妨约定三角形中数字“下小上大、左小右大”，即 b1

图3  三角形分布示意图

这样，可以根据约定对b1、b7的值进行循环探索，设置：

b1的取值范围为1 ~ (s-21)/2；    (因除b1、b7外，其他6个数之和至少为21)

b7的取值范围为b1+1 ~ (s-28)；  (因除b7外，其他7个数之和至少为28)

b4的取值范围为1 ~  (s-28)；    (因除b4外，其他7个数之和至少为28)

同理，根据约定b2

b2 的取值范围为1 ~ (s-21)/2；   (因除b2、b3外，其他6个数之和至少为21)

b3 的取值范围为b2+1 ~  (s-28)；

b6 的取值范围为1 ~  (s-21)/2；  (因除b5、b6外，其他6个数之和至少为21)

b5 的取值范围为b(6)+1 ~  (s-28)；

b8 = s-(b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7)

对所取的8个整数，需要进行以下4道检测：

1)若b8<=0，则不符合要求；

2)若这8个数出现相同数，则不符合要求；

3)若三边之和不等，则不符合要求；

4)若三边之积不等，则不符合要求。

若某8个数通过以上4道检测，即为一个解，打印输出，并统计解的个数。

由于需要对8个整数中是否出现相同数进行检测，因此可以将8个数保存在一个一维数组中，定义一维数组 int  b[9]；其中数组元素b[1] ~ b[8]分别对应图3中的b1 ~ b8。

程序总体可以写成一个七重循环结构，如下：

for(b[1]=1;b[1]<=(s-21)/2;b[1]++)

for(b[7]=b[1]+1;b[7]<=s-28;b[7]++)

for(b[4]=1;b[4]<=s-28;b[4]++)

for(b[2]=1;b[2]<=(s-21)/2;b[2]++)

for(b[3]=b[2]+1;b[3]<=s-28;b[3]++)

for(b[6]=1;b[6]<=(s-21)/2;b[6]++)

for(b[5]=b[6]+1;b[5]<=s-28;b[5]++)

{

根据穷举的8个数，进行4道检测，确定是否为一组解；

}

4道检测中，除检查8个数中是否出现相同数复杂点外，其他均是简单计算并判断即可。

为检测8个数中是否出现相同的数，可以先设定一个标志 t=0；然后用循环依次将每个数与其后的每个数进行比较，若出现相同，则置t=1并退出循环。

循环执行结束后，若 t==1，则说明8个数中出现了相同的数；若 t保持初始设定值0，则说明8个数中不存在相同的数。算法描述为：

t=0;

for(i=1;i<=7;i++)

for(j=i+1;j<=8;j++)

if(b[i]==b[j])

{

t=1; i=7; break;

}

(2)源程序1。

#include

int main()

{

int i,j,t,s,s1,s2,cnt,b[9];

scanf("%d",&s);

cnt=0;

for(b[1]=1;b[1]<=(s-21)/2;b[1]++)

for(b[7]=b[1]+1;b[7]<=s-28;b[7]++)

for(b[4]=1;b[4]<=s-28;b[4]++)

for(b[2]=1;b[2]<=(s-21)/2;b[2]++)

for(b[3]=b[2]+1;b[3]<=s-28;b[3]++)

for(b[6]=1;b[6]<=(s-21)/2;b[6]++)

for(b[5]=b[6]+1;b[5]<=s-28;b[5]++)

{

b[8]= s-(b[1]+b[2]+b[3]+b[4]+b[5]+b[6]+b[7]);

if(b[8]<=0)  continue;

t=0;

for(i=1;i<=7;i++)

for(j=i+1;j<=8;j++)

if(b[i]==b[j])

{  t=1; i=7; break; }

if(t==1)  continue;

s1= b[1]+b[2]+b[3]+b[4];

if(b[4]+b[5]+b[6]+b[7]!=s1 || b[1]+b[8]+b[7]!=s1)

continue;

s2=b[1]*b[2]*b[3]*b[4];

if(b[4]*b[5]*b[6]*b[7]!=s2 || b[1]*b[8]*b[7]!=s2)

continue;

cnt++;

printf("%d : ",cnt);

for(i=1; i<=8; i++)

printf("%d , ",b[i]);

printf("  s1=%d, s2=%d\n",s1,s2);

}

return 0;

}

(3)穷举优化思路。

上面的穷举程序设计虽然可行。但是，这个程序的运行速度太慢。例如将程序中的s=45改成s=89，即计算和为89的8个整数组成的和积三角形，程序运行后，可得到如下所示的结果。

1 : 6 , 14 , 18 , 1 , 9 , 8 , 21 , 12 ,   s1=39, s2=1512

2 : 8 , 12 , 15 , 1 , 16 , 9 , 10 , 18 ,   s1=36, s2=1440

3 : 8 , 4 , 27 , 2 , 12 , 3 , 24 , 9 ,   s1=41, s2=1728

4 : 15 , 9 , 16 , 1 , 12 , 10 , 18 , 8 ,   s1=41, s2=2160

程序得到以上4个解需等待较长时间。为了提高求解效率，必须对程序进行优化，可以从循环设置入手。具体思路为：

1)增加s+b1+b7+b4是否为3的倍数检测。

因为三角形三个顶点的元素在计算三边时各计算了两次，即s+b1+b7+b4＝3*s1，则在b1、b4、b7循环中增加对s+b1+b7+b4是否能被3整除的检测。

若(s+b1+b7+b4)%3≠0，则直接continue，继续新的b1、b4、b7探索，而无需探索后面的b2、b3、b5和b6；

否则，记s1=(s+b1+b7+b4)/3，往下进行探索。

2)精简循环，把七重循环精简为五重。

保留根据约定对b1、b7和b4的值进行的循环探索，设置同前。优化对b2、b3、b5和b6的循环探索。可根据约定对b3、b5的值进行探索，设置：

b3的取值范围为(s1-b1-b4)/2+1 ~  s1-b1-b4；   注： s1=(s+b1+b7+b4)/3

b5的取值范围为(s1-b4-b7)/2+1 ~  s1-b4-b7；

同时根据各边之和为s1，计算出b2、b6和b8，即

b2=s1-b1-b4-b3

b6=s1-b4-b5-b7

b8=s1-b1-b7

这样，还同时精简了关于b8是否为正的检测，也精简了三边和是否相等的检测。只需检测b数组是否存在相同正整数与三边积是否相同即可。

(4)改进后的源程序。

#include

int main()

{

int i,j,t,s,s1,s2,cnt,b[9];

scanf("%d",&s);

cnt=0;

for(b[1]=1;b[1]<=(s-21)/2;b[1]++)

for(b[7]=b[1]+1;b[7]<=s-28;b[7]++)

for(b[4]=1;b[4]<=s-28;b[4]++)

{

if((s+b[1]+b[4]+b[7])%3!=0)

continue;

s1=(s+b[1]+b[4]+b[7])/3;

for(b[3]=(s1-b[1]-b[4])/2+1;b[3]

for(b[5]=(s1-b[4]-b[7])/2+1;b[5]

{

b[2]=s1-b[1]-b[4]-b[3];

b[6]=s1-b[4]-b[7]-b[5];

b[8]=s1-b[1]-b[7];

t=0;

for (i=1; i<=7; i++)

for(j=i+1;j<=8;j++)

if(b[i]==b[j])

{ t=1;  i=7; break; }

if(t==1)  continue;

s2=b[1]*b[2]*b[3]*b[4];

if(b[4]*b[5]*b[6]*b[7]!=s2 || b[1]*b[8]*b[7]!=s2)

continue;

cnt++;

printf("%d : ",cnt);

for(i=1; i<=8; i++)

printf("%d , ",b[i]);

printf("  s1=%d, s2=%d\n",s1,s2);

}

}

return 0;

}

运行以上改进穷举的程序，当s=89时所得解与前相同，但时间大大缩短。

9-3  完美运算式

问题描述

把数字1、2、…、9这9个数字填入以下含加减乘除与乘方的综合运算式中的9个□中，使得该式成立

□^□+□□÷□□-□□×□=0

要求数字1，2，…、9这9个数字在式中都出现一次且只出现一次。

输入数据

无

输出要求

输出所有可能的填写方式，输出格式见输出样例。

输入样例

无

输出样例

1:3 ^ 5 + 87 / 29 - 41 * 6=0

……

(1)编程思路1。

设式中的6个整数从左至右分别为 a、b、x、y、z、c，其中x、y、z为2位整数，范围为12~98；a、b、c为一位整数，范围为1~9。

设置a、b、c、x、y、z循环，对穷举的每一组a、b、c、x、y、z，进行以下检测：

1)若x不是y的倍数，即 x % y!=0，则返回继续下一次穷举。

2)若等式不成立，即a^b+x/y-z*c!=0，则返回继续下一次穷举。

3)式中9个数字是否存在相同数字。将式中6个整数共9个数字进行分离，分别赋值给数组元素f[1]~f[9]。连同附加的f[0]=0(为保证9个数字均不为0)，共10个数字在二重循环中逐个比较。

若存在相同数字，t=1，不是解，继续下一次穷举。

若不存在相同数字，即式中9个数字为1~9不重复，保持标记t=0, 是一组解，输出所得的完美运算式。并统计解的个数 n 。

(2)源程序1。

#include

int main()

{

int a,b,c,x,y,z;

int i,j,k,t,n,f[10];

n=0;

for(a=1;a<=9;a++)

for(b=1;b<=9;b++)

for(c=1;c<=9;c++)

for(x=12;x<=98;x++)

for(y=12;y<=98;y++)

for(z=12;z<=98;z++)

{

if (x%y!=0) continue;

k=1;

for (i=1;i<=b;i++)     // 计算k=a^b

k=a*k;

if(k+x/y-z*c!=0) continue;

f[0]=0;

f[1]=a;f[2]=b;f[3]=c;   //  9数字个赋给f数组

f[4]=x/10; f[5]=x%10;

f[6]=y/10; f[7]=y%10;

f[8]=z/10; f[9]=z%10;

t=0;

for(i=0;i<=8;i++)

for(j=i+1;j<=9;j++)

if(f[i]==f[j])

{ t=1; break; }      //  检验数字是否有重复

if(t==0)

{

n++;             //  输出一个解，用n统计个数

printf("%d:%d ^ %d + %d / %d - %d * %d=0\n",n,a,b,x,y,z,c);

}

}

return 0;

}

(3)编程思路2。

对上面的程序进行优化。

由于要求的综合运算式为：a^b+x/y-z*c=0，那么，x=(z*c-a^b)*y。因此可设置a、b、c、y、z循环，对穷举的每一组a、b、c、y、z，计算x。这样处理，可省略x循环，同时省略x是否能被y整除，省略等式是否成立的检测。

计算x后，只要检测x是否为二位数即可。若计算所得x不是二位整数，则返回继续下一次穷举。

另外，式中9个数字是否存在相同数字可采用这样的方法：

定义f数组对6个整数分离出的9个数字的出现次数进行统计，即f[i]的值为式中数字i的个数，初值全赋值为0。统计后，若某一f[i](i=1~9)不为1，则一定不满足数字1、2、…、9这九个数字都出现一次且只出现一次，标记t=1，不是解，返回继续下一次穷举；若所有f[i]全为1，满足数字1、2、…、9这九个数字都出现一次且只出现一次，保持标记t=0，是解，输出所得的完美综合运算式。

(4)源程序2。

#include

int main()

{

int a,b,c,x,y,z;

int i,k,t,n,f[10];

n=0;

for(a=1;a<=9;a++)

for(b=1;b<=9;b++)

for(c=1;c<=9;c++)

for(y=12;y<=98;y++)

for(z=12;z<=98;z++)

{

k=1;

for (i=1;i<=b;i++)

k=a*k;

x=(z*c-k)*y;

if(x<10 || x>98)  continue;

for(i=1;i<=9;i++)

f[i]=0;

f[a]++; f[b]++; f[c]++;   //  记录9个数字各自出现的次数

f[x/10]++;  f[x%10]++;   f[y/10]++;  f[y%10]++;

f[z/10]++;  f[z%10]++;

t=0;

for(i=1;i<=9;i++)

if(f[i]!=1)

{ t=1; break; }      //  检验数字是否有重复

if(t==0)

{

n++;

printf("%d:%d ^ %d + %d / %d - %d * %d=0\n",n,a,b,x,y,z,c);

}

}

return 0;

}