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V.I. Arnold 论数学教育 数学是物理的一部分。物理学是一门实验科学,它是自然科学的一部分。而数学是 在20世纪中叶,人们试图严格地区分物理与数学。其造成地后果是灾难性的。整整一 既然那些从物理学中人为挖出来的学院式的数学既无益于教学,又对其他的科学毫无用 很显然,完全可能创造这样一种理论,使得幼稚的小学生们敬畏它的完美及其内部构造 如果你问一个法国的小学生:“2+3等于几?”,他(她)会这样回答:“等于 还有的法国小学生会这样定义数学(至少我认为很有可能):“存在一个正方形 据我在法国教学的经验,大学里的学生对数学的认识与这些小学生也差不多(甚 例如,这些学生从未见过一个抛物面,而且一个这样的问题:描述由方程xy=z^2所 那些喜欢挑战大脑的所谓“抽象数学”的狂热者们,把所有在数学中能与物理和现实 ENS的听完所有微分几何与代数几何课程的学生(分别被不同的数学家教的),却既不 这样的现象竟然会在法国出现!这个国家可是为整个世界贡献了诸如 Lagrange , 我在此向大家顺便提一下 L. Pasteur 的忠告:从来没有也决不会有任何所谓的“ 长久以来我一直对 Petrovskii 的话心存疑虑,但是现今我越来越肯定他说的一点 为避免被认为我在胡说八道,我不得不在此声明我自己的一些成果由于莫名其妙的原 M. Berry 教授曾经提出过如下两个原理: Arnold 原理:如果某个理念中出现了某个人名,则这个人名必非发现此理念者的名 不过,我们还是说回法国的数学教育上来。当我还是莫斯科大学数力系的一年级新生 这些事实给我们造成多么深刻的印象啊(即使没有给出证明),它们给了我们非常优 这样的例子并不鲜见,作为数学中最迷人的性质之一,Jacobi曾指出:用同一个函数 这些不同种类的数学对象之间联系的发现,就好比在物理学中电与磁之间联系的发 这些发现对于教学所具有的令人激动的非凡意义是无法估量的。正是它们指引着我 然而,数学教育的非几何化以及与物理学的分离却割断了这种联系。例如,不仅仅 我们知道一个 hypocycloid 就如同多项式环中的理想一样是无穷无尽的。但是如果 从我的法国朋友那里我听说这种超级抽象的一般化正是他们国家的传统特色。如果 构造数学理论的方式与其它的自然科学并没有什么不同。首先,我们要考虑一些对象 就这一点来说,数学界已经发展出了一套特别的技术。这种技术,当被运用于现实世 显然在任何现实的日常生活中,我们的活动要完全依赖于这样的化减是不可能的。 与此完全一样的是,公理(那些我们不能完全确定的)的一个小小的改变虽是容许 数学建模的技术对这种麻烦一无所知,并且还不断地吹嘘他们得到的模型,似乎它 我在此再提一下盖尔方德先生的一句话:还有另一类现象与以上Wigner所指的物理中 对一个物理学家而言,“数学教育所致的不易察觉的毒害作用”(F.Klein 原话)恰 我还想说的是,相同的唯一性定理也可解释为何在船只停泊码头前的靠岸阶段必须得 不幸的是,在现代数学的教科书里,即使是较好的一类课本里,对这种令人崇拜的定 我想用不着去提什么初始公理的相对特征,人们也都不会忘记在冗长的论述里犯逻辑 与这样的谬误相抗的技术也同样存在于任何实验科学里,而且应该教给每一个大学低年 试图创造所谓的纯粹推导式的公理化数学的做法,使得我们不再运用物理学中的研究 理解乘法交换性的唯一可能的方式,打个比方就是分别按行序和列序来数一个方阵里 我将再揭示几个这样的秘密(可怜的学生们对此很有兴趣)。 一个矩阵的行列式就是一个平行多面体的(定向的)体积,这个多面体的每条边就对 一个群又是什么东东呢?代数学家们会这样来教学:这是一个假设的集合,具有两种 如果我们的出发点不是群而是变换的概念(一个集合到自身的1-1映射),则我们绝 这就是定义的关键所在。那所谓的“公理”事实上不过是变换群所具有的显然的性质 顺便提一句,在上世纪60年代我曾给莫斯科的中小学生们讲授群论。我回避了任何的 一个光滑流形又是什么东东呢?最近我从一本美国人的书中得知庞加莱对此概念并 学生们到底犯了什么罪过必须经受这些扭曲和变形的公理的折磨来理解这个概念? 一个欧式空间R^N 中的k-维光滑子流形是一个这样的子集,其每一点的一个邻域是 光滑流形之间的光滑映射则是自然定义的。所谓微分同胚则是光滑的映射且其逆也 而所谓“抽象的”光滑流形就是欧式空间的允许相差一个微分同胚意义下的光滑子 对曲面的分类定理是顶级的数学成就,堪与美洲大陆或X 射线的发现媲美。这是数 曲面的分类定理应该被包含在高中数学的课程里(可以不用证明),但不知为什么 在各个层次上,数学教育由学院的特征转回到表述自然科学的重要性的特征,对法国 我清晰地记得在学校时,Hermite 写的微积分教程(有俄语译本)给我留下了多么 由Hermite 一百多年前所写的所谓的“过时的”教程(也许早就被法国大学的学生 如果数学家们再不睡醒,那么那些对现代的(最正面意义上的)数学理论仍有需要 一个数学教师,如果至今还没有掌握至少几卷Landau 和 Lifshitz 著的物理学教 (The end) |
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