题目链接

(BZOJ) https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4042
(Luogu) https://www.luogu.org/problem/P4757

题解

挺神仙的题。
观察到两个重要性质:

(1) 只有不影响任何已选方案的时候，才需要去考虑是否要选择\(u\)的子树内往上走的链。(因为链不带权值)

(2) 如果要选择\(u\)子树内往上走的链，那么最多选择一条。

由此可知，我们可以记录哪些链在\(u\)子树内的所有方案中是必选的，所有非必选的都可视作空闲。因为往上走的链最多选择一条，所以如果这条链和一条非必选的边冲突，有办法调整最优方案使得这条链选上，而不会受到“两条非必选的边至少选一条”这种情况的影响。

于是我们记录\(dp[u]\)表示\(u\)子树内最多选择多少链以及\(S[u]\)表示\(u\)子树内最优解非必选的端点，转移的时候先把所有的儿子拿出来，建一个图，两点\(i,j\)连边当且仅当存在\(x\in S[i],y\in S[j], x,y\)是输入的一条路径，然后用状压DP求它的最大匹配即可。设\(dp0[i]\)表示\(i\)集合内的最大匹配，\(U\)为所有儿子的全集，那么若\(dp0[U]=dp0[U-\{i\}]\)就说明\(i\)非必选，那么把\(S[i]\)加入到\(S[u]\)中。
注意特殊处理以\(u\)为一条链的端点的情况。

时间复杂度\(O(n^2+nd2^d+m)\).

代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<cassert>
#include<vector>
using namespace std;const int N = 1000;
const int M = 5e5;
const int D = 10;
int lg2[(1<<D)+3];
struct Edge
{int v,nxt;
} e[(N<<1)+3];
int fe[N+3];
int fa[N+3];
bool a[N+3][N+3];
vector<int> ac[N+3];
int dp[N+3];
vector<int> son;
bool ae[D+3][D+3];
bool ae0[D+3];
int dp0[(1<<D)+3];
int n,en,m;void addedge(int u,int v)
{en++; e[en].v = v;e[en].nxt = fe[u]; fe[u] = en;
}void dfs(int u)
{dp[u] = 0;for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt){int v = e[i].v;if(v==fa[u]) continue;fa[v] = u;dfs(v);dp[u] += dp[v];}son.clear();for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt){int v = e[i].v;if(v==fa[u]) continue;son.push_back(v);}for(int i=0; i<son.size(); i++){for(int j=i+1; j<son.size(); j++){ae[i][j] = ae[j][i] = false;for(int ii=0; ii<ac[son[i]].size(); ii++){for(int jj=0; jj<ac[son[j]].size(); jj++){if(a[ac[son[i]][ii]][ac[son[j]][jj]]){ae[i][j] = ae[j][i] = true; break;}}}}ae0[i] = false;for(int ii=0; ii<ac[son[i]].size(); ii++) {if(a[ac[son[i]][ii]][u]) {ae0[i] = true; break;}}}dp0[0] = 0;for(int i=1; i<(1<<son.size()); i++){int x = lg2[i&(-i)];dp0[i] = dp0[i^(1<<x)];if(ae0[x]) {dp0[i]++;}for(int j=0; j<son.size(); j++){if(i&(1<<j)){if(ae[x][j]) {dp0[i] = max(dp0[i],dp0[i^(1<<x)^(1<<j)]+1);}}}}dp[u] += dp0[(1<<son.size())-1];for(int i=0; i<son.size(); i++){if(dp0[(1<<son.size())-1]==dp0[((1<<son.size())-1)^(1<<i)]){for(int j=0; j<ac[son[i]].size(); j++) {ac[u].push_back(ac[son[i]][j]);}}}ac[u].push_back(u);
}int main()
{for(int i=0; i<=D; i++) lg2[1<<i] = i;int T; scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d",&n);for(int i=1; i<n; i++){int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);addedge(u,v); addedge(v,u);}scanf("%d",&m);for(int i=1; i<=m; i++){int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);a[u][v] = a[v][u] = 1;}dfs(1);printf("%d\n",dp[1]);for(int i=1; i<=n; i++) fe[i] = fa[i] = 0,ac[i].clear();for(int i=1; i<=en; i++) e[i].v = e[i].nxt = 0;for(int i=1; i<=n; i++) for(int j=1; j<=n; j++) a[i][j] = a[j][i] = 0;n = en = m = 0;}return 0;
}