二项分布

离散分布的一种，固定次数的独立试验时使用，每一次试验结果分为成功和失败两类，关心的是成功或失败的次数。

二项分布概率密度为：

P(X=k)=Cnkpkqn−k\large\displaystyle P(X=k)=C_n^k p^kq^{n-k}P(X=k)=Cnkpkqn−k

其中：

p为单次试验成功的概率，q为失败的概率；
n为试验次数；
k表示成功k次，
Cnk=n!k!(n−k)!\displaystyle C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}Cnk=k!(n−k)!n!。

性质

期望：E(x)=np\displaystyle E(x)=npE(x)=np

方差：Var(x)=npq\displaystyle Var(x)=npqVar(x)=npq

负二项分布

负二项分布有不同的描述，核心是放回抽取或者掷色子试验中，固定成功(失败）的次数，描述抽取/投掷失败 (成功) 的次数概率分布。

scipy.stats描述的模型：
nbinom takes n and p as shape parameters where n is the number of successes, p is the probability of a single success, and (1-p) is the probability of a single failure.

负二项分布将n和p作为形状参数，其中n是成功的次数，p 是单个成功的概率，1-p 是单个失败的概率。

scipy中：
抽取试验，单次成功的概率为ppp,直到抽取nnn次成功结束，这种情况下，失败次数kkk符合负二项分布，其概率密度为：

P(X=k)=Cn+k−1n−1pn(1−p)k\displaystyle P(X=k)=C_{n+k-1}^{n-1}p^n(1-p)^kP(X=k)=Cn+k−1n−1pn(1−p)k

陈希孺老师教材中：
抽取试验，单次成功的概率为ppp,抽取试验直到抽取kkk次失败结束，这种情况下，成功次数nnn符合负二项分布，

P(X=n)=Cn+k−1k−1pn(1−p)k\displaystyle P(X=n)=C_{n+k-1}^{k-1}p^n(1-p)^kP(X=n)=Cn+k−1k−1pn(1−p)k

性质

以scipy.stats模型为例,
期望：E(X)=np−n=n(1−p)p\displaystyle E(X) =\frac{n}{p}-n = \frac{n(1-p)}{p}E(X)=pn−n=pn(1−p)
方差：Var(X)=n(1−p)p2\displaystyle Var(X)=\frac{n(1-p)}{p^2}Var(X)=p2n(1−p)

示例

掷色子，掷出1点为胜利：

构造投掷18次筛子，投出1点的次数符合二项分布；
现在考虑掷出3次胜利，问需要掷出多少次色子，比如结果是掷出了 k+3次色子，则k的分布符合负二项分布

scipy 实现及可视化

import numpy as np
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 用来正常显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 用来正常显示负号fig, axs = plt.subplots(1,2,figsize=(10,4),dpi=100)
fig.subplots_adjust(wspace=0.3)
# 单次试验成功率
p = 1./6
# 二项分布考虑掷色子18次，成功次数符合二项分布
N = 18
# 负二项分布考虑掷出成功n次，失败次数符合二项分布
n = 3
# 二项分布B(N,p)
P_B= stats.binom(N,p)
## 成功次数0~18的概率分布
x=np.arange(N)
PF_B = P_B.pmf(x)# 负二项分布NB(n,p)
P_NB = stats.nbinom(n,p)
# 成功3次，失败次数 k 的概率分布
k=np.arange(N)
PF_NB = P_NB.pmf(k)axs[0].stem(x, PF_B, 'bo', label='固定总次数，成功次数: 二项分布')
axs[0].set_xticks(range(0,20,1));
axs[0].legend(loc='upper left')
axs[0].set_ylim(0,0.3)ax2=axs[0].twinx()
ax2.plot(x,P_B.cdf(x),'r',label='累积概率')
ax2.legend(loc='center right')
ax2.grid()
ax2.set_ylim(0,1.2)axs[1].stem(k, PF_NB, 'bo', label='固定成功次数,失败次数: 负二项分布')
axs[1].set_ylim(0,0.06)
axs[1].set_xticks(range(0,20,1));
axs[1].legend(loc='upper left')
ax2=axs[1].twinx()
ax2.plot(x,P_NB.cdf(x),'r',label='累积概率')
ax2.legend(loc=[0.02,0.8])
ax2.grid()

期望与方差

期望

print(f'二项分布的期望: {stats.binom(18,1./6).expect():.1f}, \n负二项分布的期望{stats.nbinom(3,1./6).expect():.1f}')

输出为

二项分布的期望: 3.0,
负二项分布的期望15.0

验算：
二项分布 binom(18,1./6) 的期望 E(X)=np=18∗1/6=3\displaystyle E(X) =np=18*1/6=3E(X)=np=18∗1/6=3
负二项分布**nbinom(3,1./6)**的期望 E(X)=np−n=3∗6−3=15\displaystyle E(X) =\frac{n}{p}-n = 3*6-3=15E(X)=pn−n=3∗6−3=15 ，
方差

print(f'二项分布的方差: {stats.binom(18,1./6).var():.1f}, \n负二项分布的方差{stats.nbinom(3,1./6).var():.1f}')

二项分布**binom(18,1./6)的方差: 2.5,
负二项分布nbinom(3,1./6)**的方差90.0

验算
二项分布 binom(18,1./6) 的方差E(X)=npq=18∗1/6∗5/6=2.5\displaystyle E(X) =npq=18*1/6*5/6=2.5E(X)=npq=18∗1/6∗5/6=2.5
负二项分布**nbinom(3,1./6)**的方差E(X)=n(1−p)p2=3∗5/6∗6∗6=90\displaystyle E(X) =\frac{n(1-p)}{p^2}=3*5/6*6*6=90E(X)=p2n(1−p)=3∗5/6∗6∗6=90

二项分布与负二项分布卡片相关推荐

负二项分布学习[转载]
转自:https://wenku.baidu.com/view/b6518ea5112de2bd960590c69ec3d5bbfd0adaff.html 1.伯努利实验 2.二项分布 3.负二项分布 ...
统计学基础——负二项分布的数字特征
统计学基础--负二项分布的数字特征一.引言二.负二项分布定义的引出与理解 2.1 实际意义 2.2 初始定义 2.3 重新定义"负"二项分布 2.3 推导前的知识准备三.数字 ...
统计学（1）二项分布几何分布泊松分布指数分布正态分布 gamma分布 beta分布
分布与分布关系 1.二项分布 2.几何分布 3.泊松分布 4.二项分布转化泊松分布,泊松转化正态分布 5.指数分布 6.gamma分布 7.泊松.指数.gamma三者关系 8.Beta分布 1.二项分 ...
统计复习：伯努利分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布
伯努利分布.二项分布.几何分布.超几何分布.泊松分布都是离散型随机变量. 1 伯努利分布:就是常见的0-1 分布,各自的频率为1-p和p ,当x=0 或者x=1 的时候,: p(x) = 期望: ...
系统学习机器学习之线性判别式（三）--广义线性模型(Generalized Linear Models)
转自:https://www.cnblogs.com/czdbest/p/5769326.html 在线性回归问题中,我们假设,而在分类问题中,我们假设,它们都是广义线性模型的例子,而广义线性模型就是 ...
r语言中popsd和sd的区别_读书笔记（R语言）
R与ASReml-R统计分析教程(林元震)中国林业出版社 1-3章简单介绍了R的基本语法,然后第4章着重讲了各种统计方法,第5章讲R的绘图,最后一张讲ASReml-R这个包语法重点: 1,insta ...
二元置信椭圆r语言_一般加性模型的简介、应用举例及R语言操作
一般加性模型的简介.应用及R语言操作举例前文在"平滑回归举例"中,提到当未知自变量和响应变量间的关系,难以选择合适的参数模型描述二者间的响应状态,或者期望探索二者可能的响应曲线形式 ...
R语言函数总结（转）
R语言特征对大小写敏感通常,数字,字母,. 和 _都是允许的(在一些国家还包括重音字母).不过,一个命名必须以 . 或者字母开头,并且如果以 . 开头,第二个字符不允许是数字. 基本命令要么是表达 ...
一文总结SLAM中的深度滤波问题
写在前面本文会比较长,因为本身这部分就比较复杂,笔者自身加入了自己的一些思考和理解,不对的地方请及时指出,一同进步. Reference Semi-Dense Visual Odometry for ...
R语言的各种统计分布函数
转载自品略图书馆 http://www.pinlue.com/article/2018/09/1613/487222559948.html R语言的各种统计分布函数 1.二项分布Binomial di ...

二项分布与负二项分布卡片

目录

二项分布

性质

负二项分布

性质

示例

scipy 实现及可视化

期望与方差

二项分布与负二项分布卡片相关推荐

最新文章

热门文章